Tableaux croisés d'effectifs : cours de Première technologique

Imagine que tu interroges les élèves de ton lycée sur leur façon de déjeuner : cantine ou repas à l'extérieur. Tu obtiens une liste de réponses, et tu peux facilement dire combien d'élèves mangent à la cantine. Mais une question naturelle apparaît ensuite : les filles et les garçons font-ils les mêmes choix ? Pour y répondre, une simple liste ne suffit plus. Il faut regarder deux informations en même temps pour chaque élève : son sexe et son mode de restauration.

C'est exactement le rôle du tableau croisé d'effectifs. Il range la population dans des cases qui tiennent compte de deux critères à la fois. Il est très utilisé en statistiques, dans les enquêtes d'opinion, les études de marché ou les bilans de santé, parce qu'il permet de comparer des groupes d'un seul coup d'œil.

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

• reconnaître les deux caractères étudiés et leurs modalités ;
• lire un effectif dans une case, un total de ligne, un total de colonne ;
• construire un tableau à partir de données brutes ;
• compléter un tableau dont certaines cases sont manquantes ;
• contrôler que ton tableau est cohérent.

Ce chapitre prépare la suite du programme, où tu calculeras des fréquences à partir de ces tableaux, puis des indicateurs statistiques. Sans une lecture sûre des effectifs, ces calculs ne sont pas possibles.

Avant de lire un tableau, il faut savoir de quoi on parle. Quelques mots reviennent sans cesse, et les confondre fait perdre des points.

Un caractère est dit qualitatif quand ses modalités sont des mots (couleur, sport, filière), et quantitatif quand ce sont des nombres (note, taille). Les tableaux croisés fonctionnent avec les deux sortes, mais à condition que le nombre de modalités reste petit ². Si un caractère numérique prend des dizaines de valeurs, on regroupe d'abord les valeurs en classes (par exemple « moins de 10 », « de 10 à 14 », « 15 et plus »), sinon le tableau devient illisible.

Voici un tableau issu d'une enquête réalisée auprès de 110 élèves d'un lycée. Les deux caractères sont le sexe et le régime de restauration.

Le tableau est organisé ainsi :

• les lignes correspondent aux modalités du premier caractère (fille, garçon) ;
• les colonnes correspondent aux modalités du second caractère (demi-pensionnaire, externe) ;
• une dernière colonne et une dernière ligne rassemblent les totaux ².

Le tableau est souvent complété par une ligne et une colonne supplémentaires qui indiquent les effectifs totaux de chaque colonne et de chaque ligne ². Ces totaux sont aussi appelés effectifs marginaux, parce qu'ils se trouvent dans les marges du tableau. Ils sont très utiles : ils racontent la répartition d'un seul caractère, en oubliant l'autre.

Cette double lecture est ce qui fait la force du tableau croisé. Les totaux de la marge répondent aux questions sur un seul caractère (« combien de filles ? », « combien d'externes ? »). Les cases intérieures répondent aux questions portant sur les deux caractères à la fois (« combien de filles externes ? »). Enfin le total général répond à « combien d'individus au total ? ».

Dans une situation réelle, on ne te donne pas toujours le tableau : on te donne une liste d'individus avec leurs caractéristiques, par exemple le résultat d'une enquête ou une extraction de tableur. La première étape consiste alors à construire le tableau croisé à deux caractères ¹. Les tableurs proposent d'ailleurs un outil appelé tableau croisé dynamique, qui généralise le tableau de contingence classique et fait ce comptage automatiquement ². À la main, la démarche est la suivante.

Un énoncé ne donne pas toujours tous les effectifs. Il fournit quelques cases et quelques totaux, et il faut retrouver le reste. Comme chaque total est la somme des cases de sa ligne ou de sa colonne, on peut presque toujours déduire une case manquante par une soustraction.

Remarque que l'on aurait pu choisir un autre ordre de calcul et obtenir le même résultat. Si, à un moment, aucune ligne ni aucune colonne n'a un seul nombre manquant, cherche d'abord à calculer un total que l'énoncé ne donne pas directement (par exemple 90 moins un autre total).

Un tableau peut aussi cacher une erreur d'énoncé. Si les totaux de lignes et de colonnes donnent deux totaux généraux différents, c'est que l'un des nombres est faux. Repère alors la ligne ou la colonne dont la somme ne correspond pas à son total : l'erreur s'y trouve.

Le tableau croisé d'effectifs est un outil de départ. Dans les chapitres suivants, tu l'utiliseras pour calculer des fréquences conditionnelles et marginales, c'est-à-dire des proportions : par exemple, quelle proportion des filles est demi-pensionnaire, et quelle proportion des demi-pensionnaires est une fille. Ces deux questions ne donnent pas la même réponse, et c'est le tableau qui permet de les distinguer.

Pour cela, il faut savoir repérer immédiatement :

• le groupe de référence (le total qui servira de dénominateur) ;
• le groupe étudié (l'effectif qui servira de numérateur) ;
• les cases à additionner pour obtenir un effectif qui n'est pas écrit.

Les effectifs que tu apprends à lire ici seront la matière première de tous ces calculs, et plus tard des indicateurs statistiques.