Probabilités conditionnelles et arbres : cours de 1re

Quand tu lances un dé équilibré, la probabilité d'obtenir un 6 est $\dfrac{1}{6}$. Mais imagine qu'on te dise que le résultat est pair : la probabilité d'un 6 change, parce que tu sais déjà quelque chose. Il ne reste plus que trois issues possibles, 2, 4 et 6, et la probabilité d'un 6 devient $\dfrac{1}{3}$.

C'est exactement l'idée d'une probabilité conditionnelle : on mesure la chance qu'un événement se réalise en tenant compte d'une information supplémentaire. Le programme de première présente cette notion comme sous-jacente à toute modélisation probabiliste, et elle apparaît dans la vie courante, par exemple dans les tests médicaux avec leurs faux positifs et leurs faux négatifs ²³.

Tu as déjà rencontré cette idée en statistiques, avec les fréquences conditionnelles d'un tableau croisé. Le programme explique que l'étude de deux variables amène naturellement la fréquence conditionnelle, et que, lorsqu'on tire au hasard dans une population finie, une fréquence peut être assimilée à une probabilité ¹. Autrement dit, ce que tu sais faire avec des effectifs, tu vas le refaire avec des probabilités.

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

• définir et calculer une probabilité conditionnelle ;
• la déterminer en exploitant un tableau d'effectifs à double entrée ou un arbre dont les branches portent des probabilités ¹ ;
• utiliser la règle du produit et la formule des probabilités totales ;
• inverser un conditionnement, ce qui est l'enjeu des tests médicaux ;
• reconnaître deux événements indépendants.

Lis bien la formule : au numérateur, il y a la probabilité que les deux événements se produisent ensemble ; au dénominateur, la probabilité de la condition, c'est-à-dire de l'événement qui suit le mot « sachant ». La condition sert de nouvel univers, et on divise donc toujours par elle.

La condition $P(A)\neq 0$ n'est pas un détail. Si $A$ est impossible, on ne peut pas « supposer » qu'il se réalise, et la division par zéro n'a aucun sens ².

Le programme prévoit des situations où l'on obtient une probabilité conditionnelle en s'appuyant sur un tableau croisé d'effectifs ¹². C'est le cas le plus simple, car il suffit de compter. Quand on choisit un individu au hasard dans la population, la probabilité d'un événement est son effectif divisé par l'effectif total, et la probabilité conditionnelle revient à un quotient d'effectifs.

Quand les données ne sont pas des effectifs mais des pourcentages, ou quand l'expérience se déroule en plusieurs étapes, un arbre de probabilités (ou arbre pondéré) est l'outil naturel. Le programme attend que tu saches déterminer des probabilités conditionnelles grâce à un tel arbre ¹. Un arbre de probabilité est un schéma qui résume une expérience aléatoire lorsqu'on connaît des probabilités conditionnelles ⁶.

Cette règle fonctionne dans les deux directions. Tu l'utilises pour trouver une probabilité d'intersection quand tu connais une probabilité conditionnelle (c'est le cas dans un arbre), ou pour retrouver une probabilité conditionnelle quand tu connais l'intersection (c'est le cas dans un tableau).

Elle s'applique aussi à une succession de deux épreuves : le programme mentionne la représentation par un arbre d'une succession de deux épreuves indépendantes ²⁵. Dans ce cas particulier, le poids de la deuxième étape ne dépend pas du résultat de la première, et on retrouve un simple produit de probabilités.

Dans un arbre, cette formule dit exactement ce que dit la règle de la somme : pour obtenir $P(A)$, on additionne les probabilités de tous les chemins qui aboutissent à $A$, chacune étant un produit de poids.

Le programme met en évidence la problématique de l'inversion des probabilités conditionnelles ². Dans les situations réelles, on connaît souvent $P_A(D)$ (la chance d'un défaut sachant l'atelier) mais on cherche $P_D(A)$ (la chance que la pièce vienne de l'atelier $A$ sachant qu'elle est défectueuse). Les deux ne sont pas égales ; il faut passer par l'intersection.

On écrit $P(A\cap D)$ de deux manières : par la règle du produit, $P(A\cap D)=P(A)\times P_A(D)$, et par la définition appliquée à $D$, $P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}$. D'où

$P_D(A)=\frac{P(A)\times P_A(D)}{P(D)}.$

Cette relation est la version simple de ce qu'on appelle le théorème de Bayes, que l'arbre de probabilité facilite ⁶. Tu n'as pas besoin de la retenir par cœur : refais le raisonnement sur ton arbre.

Concrètement, savoir que $B$ s'est réalisé ne modifie pas la chance que $A$ se réalise. On retrouve cette idée dans la répétition d'épreuves identiques et indépendantes, représentée par un arbre ⁵.

Voici les erreurs les plus fréquentes, avec la façon de les repérer :

• Inverser les rôles de $A$ et $B$ : relis la phrase en français et entoure la condition.
• Additionner au lieu de multiplier le long d'un chemin, ou multiplier au lieu d'additionner entre deux chemins.
• Oublier une branche : la somme des poids sortant d'un nœud doit toujours valoir 1.
• Prendre une probabilité conditionnelle pour une probabilité simple, comme $P_A(D)=0{,}02$ lu comme $P(D)$.
• Supposer l'indépendance sans la justifier : dans un tirage sans remise, par exemple, elle est fausse.