Probabilités conditionnelles et arbres : fiche de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La probabilité conditionnelle de B sachant A (A de probabilité non nulle) se note PA(B) : on se place dans l'univers réduit à A.2
Dans un arbre pondéré, la branche de A vers B porte PA(B) ; on multiplie le long d'un chemin (règle du produit), on additionne les chemins qui mènent à un même événement (règle de la somme).62
La formule des probabilités totales utilise une partition de l'univers : P(A)=∑P(Ωi)×PΩi(A).6
A et B sont indépendants si PB(A)=P(A), sous réserve que P(B)=0.1
Piège majeur : PA(B) et PB(A) sont en général différentes.
Ce qu'est une probabilité conditionnelle
Cette fiche prolonge le travail sur les tableaux croisés et les fréquences conditionnelles : le programme transpose aux probabilités ce qu'on faisait avec les fréquences.5 Dans un tirage aléatoire au sein d'une population finie, une fréquence peut être identifiée à une probabilité.1
Lire et construire un arbre pondéré
Probabilités totales et indépendance
Questions flash
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On divise par l'effectif de la condition (les filles) : 30/120=0,25. Diviser par un total de 200 élèves donnerait 0,15, mais ce serait une probabilité non conditionnelle.
C'est la règle du produit : P(A∩B)=P(A)×PA(B). L'addition sert à regrouper plusieurs chemins différents, pas à parcourir un seul chemin.
Faux : le dénominateur change (P(A) ou P(B)). Elles ne sont égales que dans des cas particuliers, par exemple si P(A)=P(B).
P(R)=0,4×0,9+0,6×0,7=0,36+0,42=0,78. Oublier le chemin passant par Aˉ donnerait 0,36, ce qui est faux.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser « sachant que » ?
Cherche une information déjà connue dans l'énoncé (« parmi les filles », « si le test est positif »). Elle devient la condition et sert de diviseur ; sur un arbre, c'est le nœud d'où part la branche.6
À quoi sert la formule des probabilités totales ?
Elle donne la probabilité d'un événement atteint par plusieurs chemins de l'arbre, en additionnant les produits des branches.6 Elle sert par exemple pour les tests médicaux et leurs faux positifs ou faux négatifs, qui figurent parmi les contextes cités par les ressources officielles.3