Probabilités conditionnelles et arbres : exercices corrigés de 1re

On construit le tableau croisé : filles 90 dont 36 en musique et 54 hors musique ; garçons 60 dont 15 en musique et 45 hors musique ; total 150 dont 51 en musique et 99 hors musique.

L'information « c'est une fille » réduit l'univers aux 90 filles.⁴

Parmi ces 90 filles, 36 suivent la musique.

On calcule donc $P_F(M) = \dfrac{36}{90} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$.

On détermine l'effectif de la colonne « musique » : $36 + 15 = 51$ élèves.

L'information « l'élève suit la musique » réduit l'univers à ces 51 élèves.

Parmi eux, 36 sont des filles.

On obtient $P_M(F) = \dfrac{36}{51} = \dfrac{12}{17} \approx 0{,}7059$.

On dessine la première étape : branche vers $A$ (poids $0{,}6$) et branche vers $\overline{A}$ (poids $0{,}4$).

À partir de $A$, on place la branche vers $B$ pondérée par $P_A(B) = 0{,}7$, car le poids d'une branche est une probabilité conditionnelle.⁶

Le chemin $A$ puis $B$ correspond à l'événement $A \cap B$.

On applique la règle du produit : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42$.²

On note $M_1$ et $M_2$ les événements « la pièce vient de la machine 1 », « de la machine 2 ». Ils sont disjoints et leur réunion est tout l'univers : ils forment une partition.⁶

On construit l'arbre : $P(M_1) = 0{,}6$ et $P(M_2) = 0{,}4$ ; puis $P_{M_1}(D) = 0{,}02$ et $P_{M_2}(D) = 0{,}05$.

Chemin $M_1 \to D$ : $0{,}6 \times 0{,}02 = 0{,}012$.

Chemin $M_2 \to D$ : $0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}020$.

Les deux chemins réalisent D : on additionne (règle de la somme, formule des probabilités totales).²⁶

$P(D) = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$.

On repère le problème : l'arbre fournit $P_{M_2}(D)$, mais on demande $P_D(M_2)$. Les deux conditionnements sont inversés.²

On calcule l'intersection avec la règle du produit : $P(M_2 \cap D) = 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}02$.

L'information « la pièce est défectueuse » réduit l'univers à D, de probabilité $0{,}032$.

On divise : $P_D(M_2) = \dfrac{0{,}02}{0{,}032} = 0{,}625$.

On note $R_1$ : « la première boule est rouge » et $R_2$ : « la deuxième boule est rouge ».

Au premier tirage, 5 boules sur 8 sont rouges : $P(R_1) = \dfrac{5}{8}$.

Si $R_1$ est réalisé, l'urne contient 7 boules dont 4 rouges, donc $P_{R_1}(R_2) = \dfrac{4}{7}$.

On applique la règle du produit : $P(R_1 \cap R_2) = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14}$.²

Valeur décimale : $\dfrac{5}{14} \approx 0{,}3571$.

On construit l'arbre : $P(Ma) = 0{,}01$ et $P(\overline{Ma}) = 0{,}99$ ; puis $P_{Ma}(T) = 0{,}95$ et $P_{\overline{Ma}}(T) = 0{,}10$.

Chemin « malade et positif » : $P(Ma \cap T) = 0{,}01 \times 0{,}95 = 0{,}0095$.

Chemin « non malade et positif » : $P(\overline{Ma} \cap T) = 0{,}99 \times 0{,}10 = 0{,}099$.

Les événements $Ma$ et $\overline{Ma}$ forment une partition : $P(T) = 0{,}0095 + 0{,}099 = 0{,}1085$.⁶

On inverse le conditionnement : $P_T(Ma) = \dfrac{0{,}0095}{0{,}1085} \approx 0{,}0876$.

Comme $P(B) = 0{,}4$ n'est pas nul, la probabilité de A sachant B existe.¹

On l'obtient en rapportant l'intersection à l'événement conditionnant : $P_B(A) = \dfrac{0{,}15}{0{,}4} = 0{,}375$.

On compare avec $P(A) = 0{,}5$ : $0{,}375 \neq 0{,}5$.

Deux événements sont indépendants lorsque la probabilité de A sachant B est égale à celle de A ; ici ce n'est pas le cas.¹

On conclut que $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.