Numérique et sciences informatiques (spécialité) · Première

Écriture d'un entier en base 2, 10 et 16 : cours de Première NSI

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un entier s'écrit dans une base $B$ avec des chiffres tous strictement inférieurs à $B$ ; sans précision, la base est 10 ².
En base 2, seuls 0 et 1 sont utilisés ; la valeur de $(e_{n-1}\dots e_0)_2$ est $\sum e_i \times 2^i$ ¹².
Décimal vers base $B$ : divisions entières successives par $B$ , on lit les restes de bas en haut.
L'hexadécimal (base 16) résume le binaire : un chiffre hexadécimal vaut exactement quatre bits.
Les $k$ bits de poids faibles d'un entier forment son reste modulo $2^k$ ².

Pourquoi plusieurs façons d'écrire un même entier

Quand tu écris 57, tu ne te poses pas de question : c'est « cinquante-sept ». Pourtant, ce que tu as sous les yeux n'est qu'une écriture du nombre, pas le nombre lui-même. La quantité de billes, de pixels ou de fichiers ne change pas selon la manière de la noter. Ce qui change, c'est la convention d'écriture, et on peut en choisir plusieurs.

En informatique, une convention s'impose pour une raison très concrète. Côté matériel, une machine repose sur des circuits électroniques dans lesquels circule du courant ¹. Un circuit n'a que deux états faciles à distinguer de façon fiable : le courant passe ou ne passe pas. Il est donc naturel de représenter l'information avec deux signes seulement, 0 et 1. C'est la base 2, ou écriture binaire ¹.

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

lire et écrire un entier naturel en base 10, en base 2 et en base 16 ;
passer d'une base à l'autre, à la main puis avec un petit programme ;
repérer des propriétés utiles du binaire, comme le lien entre les derniers bits d'un nombre et un reste de division.

Ces notions servent ensuite pour représenter les entiers relatifs, les nombres à virgule et les booléens, qui sont les chapitres suivants du programme.

Écrire un entier dans une base quelconque

La base 2 : lire et écrire en binaire

ExempleConversion de $(111001)_2$

Cette écriture a six bits, donc les poids vont de $2^0$ à $2^5$ :

Poids	32	16	8	4	2	1
Bit	1	1	1	0	0	1

On additionne les poids marqués d'un 1 : $32+16+8+1=57$ . Donc $(111001)_2=57$ .

Du décimal vers une autre base : les divisions successives

Pour passer d'un entier écrit en base 10 vers la base 2, il faut retrouver ses chiffres $e_0, e_1, e_2\dots$ L'idée vient de la formule de la valeur : le chiffre de poids faible $e_0$ est ce qui reste quand on retire tous les multiples de la base. Autrement dit, c'est le reste de la division entière de $E$ par $B$ ². Une fois ce reste connu, le quotient contient tous les autres chiffres, décalés d'un rang, et on recommence.

La détermination des chiffres composant un entier s'obtient ainsi en répétant des divisions, et il suffit de remplacer la base 10 par 2 ou par 16 pour changer de base ¹.

Démonstration · Pourquoi le reste est le dernier chiffre

Écrivons $E=e_{n-1}B^{n-1}+\dots+e_1B+e_0$ avec $0\le e_i<B$ . Tous les termes sauf le dernier sont multiples de $B$ , donc

$E=B\times\underbrace{\left(e_{n-1}B^{n-2}+\dots+e_1\right)}_{q}+e_0.$

Comme $0\le e_0<B$ , cette égalité est la division euclidienne de $E$ par $B$ : le quotient est $q$ et le reste est $e_0$ . Le quotient $q$ s'écrit $e_{n-1}\dots e_1$ en base $B$ : on peut lui appliquer le même raisonnement pour trouver $e_1$ , puis $e_2$ , et ainsi de suite jusqu'à obtenir un quotient nul.

DiviserDivise l'entier par la base B.
Noter le resteLe reste est un chiffre de l'écriture.
RecommencerReprends avec le quotient jusqu'à 0.
LireLis les restes de bas en haut.

Convertir un entier décimal en base B · Méthode des divisions successives.

La base 16 : l'hexadécimal

Les écritures binaires deviennent vite longues : $(111001)_2$ a déjà six chiffres pour le nombre 57. Pour les manipuler plus confortablement, on utilise la base 16, ou hexadécimale. Les conversions décrites dans la ressource Éduscol fonctionnent pour toute base comprise entre 2 et 16 ¹, ce qui inclut les bases 2, 10 et 16 de ce cours.

En base 16, il faut seize chiffres différents, de 0 à 15 ². Comme il n'existe que dix signes décimaux, on convient de compléter par des lettres : A pour dix, B pour onze, C pour douze, D pour treize, E pour quatorze et F pour quinze.

Correspondance décimal, binaire, hexadécimal de 0 à 15
Décimal	Binaire (4 bits)	Hexadécimal
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

Correspondance décimal, binaire, hexadécimal de 0 à 15 · Les seize chiffres hexadécimaux et leur écriture sur quatre bits.

ExempleDécimal vers hexadécimal

On applique la méthode des divisions, avec la base 16, pour écrire 300 :

Division	Quotient	Reste
$300 = 16\times18+12$	18	12, soit C
$18 = 16\times1+2$	1	2
$1 = 16\times0+1$	0	1

On lit de bas en haut : $300=(12C)_{16}$ . Vérification : $256+32+12=300$ .

Passer du binaire à l'hexadécimal et inversement

Le grand intérêt de la base 16 vient d'un fait arithmétique : $16=2^4$ . Un chiffre hexadécimal, qui prend 16 valeurs différentes, correspond donc exactement à un groupe de quatre bits, qui prennent eux aussi $2^4=16$ valeurs différentes. La conversion entre ces deux bases n'exige donc aucune division : on regroupe les bits par quatre.

Démonstration · Pourquoi quatre bits donnent un chiffre hexadécimal

Considérons un entier dont l'écriture binaire est découpée en blocs de quatre bits en partant de la droite. Un bloc $b_3b_2b_1b_0$ vaut $b_3\times8+b_2\times4+b_1\times2+b_0$ , un nombre compris entre 0 et 15. Le bloc suivant a ses poids multipliés par $2^4=16$ , puis le suivant par $16^2$ , et ainsi de suite. L'entier s'écrit donc $\sum c_j\times16^j$ où chaque $c_j$ est la valeur d'un bloc, entre 0 et 15 : ce sont exactement les chiffres hexadécimaux.

Propriétés du binaire à connaître

Programmer la conversion en Python

La ressource Éduscol décrit deux fonctions de conversion : l'une prend un entier décimal et une base inférieure ou égale à 16 et renvoie une chaîne de caractères représentant l'entier dans cette base, l'autre fait le chemin inverse à partir d'une chaîne ¹. Voici une façon d'écrire la première, directement inspirée de la méthode des divisions.

ExempleDu décimal vers une chaîne en base $B$

CHIFFRES = "0123456789ABCDEF"

def vers_base(n, base):
    if n == 0:
        return "0"
    texte = ""
    while n > 0:
        reste = n % base
        texte = CHIFFRES[reste] + texte
        n = n // base
    return texte

L'opérateur % donne le reste de la division entière, // le quotient. On ajoute chaque nouveau chiffre à gauche de la chaîne : c'est la façon de lire les restes de bas en haut. Avec vers_base(300, 16), on obtient "12C".

ExempleD'une chaîne en base $B$ vers le décimal

CHIFFRES = "0123456789ABCDEF"

def vers_decimal(texte, base):
    valeur = 0
    for c in texte:
        valeur = valeur * base + CHIFFRES.index(c)
    return valeur

À chaque caractère lu de gauche à droite, on multiplie la valeur déjà obtenue par la base puis on ajoute le nouveau chiffre. Pour "101" en base 2 : on passe par $0\to1\to2\to5$ . On retrouve la valeur de $(101)_2$ sans calculer aucune puissance.

Bilan et erreurs fréquentes

Exercices corrigés

Exercice 1 Du binaire au décimal

★☆☆Environ 5 min

Donne la valeur décimale de l'entier $(110101)_2$ .

Indice 1

Écris les poids 32, 16, 8, 4, 2, 1 sous les bits, de gauche à droite.

Indice 2

N'additionne que les poids situés sous un bit égal à 1.

Voir la correction pas à pas

L'écriture a six bits, donc les poids vont de 32 à 1.
On aligne : bits 1, 1, 0, 1, 0, 1 sous les poids 32, 16, 8, 4, 2, 1.
On retient les poids 32, 16, 4 et 1.
On additionne : $32+16+4+1=53$ .

$(110101)_2=53$ . Contrôle : en divisant 53 par 2 on trouve des restes 1, 0, 1, 0, 1, 1 qui se lisent bien 110101 de bas en haut.

Exercice 2 Lecture d'un nombre hexadécimal

★☆☆Environ 5 min

Calcule la valeur décimale de $(3A7)_{16}$ , sachant que A représente dix.

Indice 1

Les poids de droite à gauche sont 1, 16 et 256.

Indice 2

Le chiffre A vaut 10, pas 1 suivi de 0.

Voir la correction pas à pas

Le chiffre 7 a pour poids $16^0=1$ : il apporte 7.
Le chiffre A a pour poids $16^1=16$ : il apporte $10\times16=160$ .
Le chiffre 3 a pour poids $16^2=256$ : il apporte $3\times256=768$ .
On additionne : $768+160+7=935$ .

$(3A7)_{16}=935$ .

Exercice 3 Convertir 219 en binaire et en hexadécimal

★★☆Environ 10 min

Écris 219 en base 2 par divisions successives, puis déduis-en son écriture en base 16 sans refaire de division.

Indice 1

Divise par 2 jusqu'à obtenir un quotient nul et note chaque reste.

Indice 2

Pour l'hexadécimal, regroupe les bits quatre par quatre depuis la droite.

Voir la correction pas à pas

$219=2\times109+1$ , reste 1.
$109=2\times54+1$ , reste 1.
$54=2\times27+0$ , reste 0.
$27=2\times13+1$ , reste 1.
$13=2\times6+1$ , reste 1.
$6=2\times3+0$ , reste 0.
$3=2\times1+1$ , reste 1.
$1=2\times0+1$ , reste 1.
On lit les restes de bas en haut : $219=(11011011)_2$ .
On découpe en $1101$ et $1011$ , soit 13 (D) et 11 (B).
Donc $219=(DB)_{16}$ .

$219=(11011011)_2=(DB)_{16}$ . Contrôle : $13\times16+11=219$ et $128+64+16+8+2+1=219$ .

Exercice 4 Reste lu dans les derniers bits

★★★Environ 10 min

On sait que $109=(1101101)_2$ . Sans effectuer de division, détermine le reste de la division de 109 par 8, puis vérifie-le par le calcul.

Indice 1

$8=2^3$ : combien de bits de poids faibles faut-il garder ?

Indice 2

Convertis ensuite ces bits en décimal.

Voir la correction pas à pas

Comme $8=2^3$ , le reste est formé par les $3$ bits de poids faibles.
Les trois derniers bits de 1101101 sont 101.
On convertit : $(101)_2=4+1=5$ .
Vérification : $109=8\times13+5$ , avec $5<8$ , donc le reste est bien 5.

Le reste de 109 dans la division par 8 est 5. Garder les $k$ derniers bits revient à calculer un reste modulo $2^k$ .

Les questions qu'on se pose

À quoi ça sert de connaître la base 2 si je programme en Python ?

Python te cache la conversion quand tu écris des nombres, mais les données sont stockées sous forme de bits dans la machine, dont le matériel repose sur des circuits électroniques parcourus par du courant ¹. Comprendre le binaire permet de savoir pourquoi une taille se compte en puissances de 2, comment fonctionne un masque de bits, ou pourquoi les nombres à virgule posent problème (chapitre suivant). C'est aussi un classique des épreuves de NSI.

Comment savoir dans quelle base est écrit un nombre ?

Sans indication, c'est la base 10 ². Sinon, la base est précisée en indice à droite du nombre ou après des parenthèses, comme dans $(101)_2$ ². Dans un énoncé, vérifie toujours cette indication avant de calculer, car 101, $(101)_2$ et $(101)_{16}$ sont trois nombres différents.

Pourquoi utilise-t-on l'hexadécimal si l'ordinateur ne connaît que le binaire ?

Parce que c'est une écriture bien plus courte du même nombre, tout en restant simple à convertir : un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits, puisque $16=2^4$ . Un octet de huit bits tient ainsi sur deux chiffres hexadécimaux. L'être humain lit et recopie plus facilement B7 que 10110111.

Comment vérifier rapidement ma conversion ?

Reconvertis le résultat vers la base de départ. En binaire, additionne les poids $2^i$ des bits égaux à 1 ². Tu peux aussi contrôler la parité : un entier pair se termine par 0 en binaire, car son reste modulo 2 est son dernier bit ². Un décalage de seulement un rang dans les restes se repère ainsi tout de suite.

Sources

Ressource Éduscol — Représentation des données, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Codage en base 2 et systèmes numériques, Université Grenoble Alpes. Consulté le 6 novembre 2026.

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Division	Quotient	Reste
$45 = 2\times22+1$	22	1
$22 = 2\times11+0$	11	0
$11 = 2\times5+1$	5	1
$5 = 2\times2+1$	2	1
$2 = 2\times1+0$	1	0
$1 = 2\times0+1$	0	1

Écriture d'un entier en base 2, 10 et 16 : cours de Première NSI

L'essentiel

Pourquoi plusieurs façons d'écrire un même entier

Écrire un entier dans une base quelconque

La base 2 : lire et écrire en binaire

Du décimal vers une autre base : les divisions successives

La base 16 : l'hexadécimal

Passer du binaire à l'hexadécimal et inversement

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Exercice 1 Du binaire au décimal

Exercice 2 Lecture d'un nombre hexadécimal

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