Écriture d'un entier en base 2, 10 et 16 : exercices de 1re NSI

On numérote les bits de droite à gauche : le bit de rang 0 est 1, rang 1 est 0, rang 2 est 1, rang 3 est 1, rang 4 est 0, rang 5 est 1.

On écrit la somme des puissances de 2 associées aux bits égaux à 1 : $2^5+2^3+2^2+2^0$.

On calcule : $32+8+4+1=45$.

$37=2\times 18+1$ : premier reste 1.

$18=2\times 9+0$ : reste 0.

$9=2\times 4+1$ : reste 1.

$4=2\times 2+0$ : reste 0.

$2=2\times 1+0$ : reste 0.

$1=2\times 0+1$ : reste 1, quotient nul, on s'arrête.

On lit les restes du dernier au premier : 1, 0, 0, 1, 0, 1.

On repère les chiffres : $e_1=2$ et $e_0=F=15$.

On applique la formule : $2\times 16^1+15\times 16^0$.

On calcule : $32+15=47$.

$(1201)_2$ : le chiffre 2 n'est pas inférieur à 2, l'écriture est impossible.

$(1010)_2$ : tous les chiffres valent 0 ou 1, l'écriture est correcte.

$(7G)_{16}$ : avec la convention, G ne représente aucun chiffre, l'écriture est impossible.

$(7F)_{16}$ : 7 et F=15 sont inférieurs à 16, l'écriture est correcte.

$(2B)_{10}$ : B vaudrait 11, qui dépasse 9, l'écriture est impossible en base 10.

$202=16\times 12+10$ : premier reste 10, soit la lettre A.

$12=16\times 0+12$ : reste 12, soit la lettre C, quotient nul.

On lit les restes du dernier au premier : C puis A.

On découpe : $1101$ et $0111$.

$(1101)_2=8+4+1=13$, soit la lettre D.

$(0111)_2=4+2+1=7$, soit le chiffre 7.

On assemble : $(D7)_{16}$.

Valeur décimale : $13\times 16+7=215$.

Les trois bits de droite de $1101101$ sont $101$.

On convertit : $(101)_2=4+0+1=5$.

On divise : $109=8\times 13+5$, donc le reste vaut 5.

Le bit de poids faible de $N$ est 1, c'est le reste de la division par 2 : $N$ est impair.

Comme $4=2^2$, le reste modulo 4 s'obtient avec les 2 bits de poids faibles.

Ces deux bits sont $11$, et $(11)_2=2+1=3$.

On liste : $2^9=512$ et $2^{10}=1024$.

Comme $512\le 1000<1024$, le bit de poids fort est celui de rang 9.

Il y a donc 10 bits (rangs 0 à 9).

Sur 8 bits, le plus grand entier a tous ses bits à 1 : $2^8-1=255$.

Chacun des 12 bits prend 2 valeurs, donc on peut former $2^{12}=4096$ écritures différentes.

Ces écritures représentent tous les entiers de 0 à $2^{12}-1$.

Le plus grand vaut donc $4096-1=4095$.

Ses 12 bits à 1 forment trois paquets $1111$, chacun valant F : l'écriture hexadécimale est $(FFF)_{16}$.

Base 10 : $1\times 16^2+10\times 16+3=256+160+3=419$.

Chaque chiffre en 4 bits : $1=0001$, $A=1010$, $3=0011$.

On assemble : $000110100011$, puis on retire les zéros de tête : $110100011$.

Vérification : bits à 1 aux rangs 8, 7, 5, 1 et 0, soit $256+128+32+2+1=419$.