Statistiques et probabilités élémentaires : cours de Terminale techno

Dans la vie courante, tu rencontres sans cesse des phrases comme « 30 % des élèves de la classe sont demi-pensionnaires » ou « il y a une chance sur deux de gagner ». Les statistiques décrivent ce qui a été observé. Les probabilités mesurent ce qui peut arriver quand le résultat dépend du hasard. Au bac technologique, ces deux thèmes se retrouvent dans les automatismes : il faut calculer vite, juste, et savoir expliquer ce qu'on fait.

Les premiers calculs de probabilités sont nés avec les jeux de hasard : jeux de dés, tirages de boules dans une urne, pile ou face. Ces jeux ont donné l'envie de comprendre et de prévoir ce type d'expériences.⁵ Une loi de probabilité décrit alors le comportement aléatoire d'un phénomène qui dépend du hasard.⁵

Ce cours reprend ce que tu connais déjà : les pourcentages et la lecture de tableaux ou de graphiques. Tu vas en faire un outil pour décrire une série de données, puis pour mesurer des chances. À chaque étape, nous partirons d'un exemple concret, puis nous dégagerons la règle.

Pour modéliser une expérience aléatoire, on commence par associer une probabilité à chaque événement élémentaire.¹ La probabilité d'un événement se calcule ensuite en additionnant les probabilités des issues qui le composent.⁴

Choisir ces probabilités est un choix de modélisation. La seule contrainte est que le modèle représente au mieux la réalité.⁴ Au niveau élémentaire, on se place le plus souvent dans une situation où toutes les issues ont la même probabilité, ou dans une situation conforme au bon sens.⁴ Ainsi, pour un lancer de pièce équilibrée, on suppose que pile et face ont la même probabilité.

Beaucoup d'énoncés du bac donnent un tableau à double entrée : on y croise deux caractères (par exemple fille ou garçon, et une option choisie ou non). Chaque case contient un effectif. Choisir au hasard un élève revient alors à choisir une case de l'ensemble avec équiprobabilité : la probabilité d'un événement est son effectif divisé par l'effectif total.

Les arbres pondérés présentent la même information. Chaque branche porte une probabilité, et on multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité de l'intersection. Avec les données précédentes : la branche « fille » porte 0,6, puis la branche « théâtre » partant de « fille » porte 0,25. Le chemin « fille et théâtre » a donc pour probabilité $0{,}6\times0{,}25=0{,}15$.

Pour un événement qui peut arriver par plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins. Ici : $P(T)=0{,}6\times0{,}25+0{,}4\times0{,}25=0{,}15+0{,}10=0{,}25$.

La notion de probabilité est abordée au collège à partir d'expérimentations.³ Les simulations d'expériences aléatoires, en classe ou sur ordinateur, aident à comprendre un modèle probabiliste.³ Une étude commence souvent par choisir au hasard des valeurs ou des individus ; quand ce choix est fait de façon équiprobable, les valeurs observées peuvent être étudiées avec une loi de probabilité.⁵

Concrètement, si tu lances une pièce équilibrée 10 fois, tu n'obtiendras pas forcément 5 piles : tu peux en avoir 3 ou 7. La fréquence observée de pile fluctue d'une série à l'autre. Plus tu répètes l'expérience, plus cette fréquence a tendance à se rapprocher de la probabilité de pile, ici 0,5.

Une probabilité est un modèle, une manière de décrire un phénomène aléatoire. Les lois de probabilité servent à modéliser des incertitudes et à décrire des phénomènes physiques, biologiques ou économiques.⁵ Un modèle est bon quand ses prédictions ressemblent à ce qu'on observe. Si une pièce tombe 80 fois sur pile en 100 lancers, on doutera du modèle « pièce équilibrée ».