Géométrie dans l'espace : cours de Terminale STD2A

Autour de toi, presque tout est en trois dimensions : une chaise, un bâtiment, un flacon de parfum, un objet de design. Quand tu dessines ces objets sur une feuille, tu les écrases dans un plan. Le dessin ne donne alors qu'une image de l'objet, jamais l'objet lui-même.

En Terminale STD2A, la géométrie dans l'espace sert exactement à cela : comprendre comment un objet est construit, puis savoir le représenter et en parler avec précision. Le programme demande de mener ce chapitre en lien étroit avec l'enseignement des arts.¹

Dans ce cours, tu vas voir ce qu'est la géométrie dans l'espace, quels outils on réutilise du plan, comment raisonner avec des plans qui se coupent, comment décomposer une scène en solides simples et comment calculer des longueurs et des volumes dans un exemple concret.

Dans le plan, tu connais le point, la droite, le segment, le cercle, le triangle. Tous ces objets vivent à plat. Dans l'espace, ils existent toujours, mais ils peuvent être orientés dans toutes les directions. De plus, de nouveaux objets apparaissent : le cube, la sphère, le cylindre, les pyramides. Leur point commun est qu'ils ont un intérieur que l'on peut remplir, donc un volume.

La géométrie classique a une longue histoire : les Éléments d'Euclide rassemblent les connaissances de leur époque et forment encore le support des cours de géométrie élémentaire, avec les notions de droite, de plan, de longueur et d'aire.⁴ Cette géométrie traite du plan comme de l'espace.⁴

Les objets de la géométrie plane, on peut les étudier en les situant simplement dans un plan. Dans l'espace, un problème se traite donc en passant en revue plusieurs plans et en examinant ce que contient chacun d'eux. Le plus souvent, la clé est qu'un même objet se trouve dans plusieurs plans en même temps.³

C'est l'idée centrale du chapitre. Voici comment la mettre en pratique.

Le programme de STD2A insiste sur le cube : son modèle conceptuel est fondateur de toute la géométrie dans l'espace.¹ Pourquoi lui ? Parce qu'il est simple, régulier et qu'on le retrouve partout dans l'architecture et le design. Ses faces sont des carrés identiques, toutes ses arêtes ont la même longueur et ses faces opposées sont parallèles.

À partir du cube, tu peux comprendre d'autres solides : en étirant le cube dans une ou plusieurs directions, tu obtiens un pavé droit. En le coupant par un plan, tu obtiens des sections variées, par exemple un carré ou un rectangle.

Une consigne importante du chapitre consiste à analyser des compositions artistiques ou architecturales et à décomposer des scènes de l'espace en solides simples. L'objectif est de pouvoir les reproduire ou les représenter.² Le programme invite aussi à enrichir les représentations planes des objets de l'espace.²

Cette démarche ressemble à celle d'un dessinateur : avant de tracer les détails, il repère les grandes masses. Un bâtiment devient un pavé droit surmonté d'un autre, un escalier devient une suite de pavés, un pot devient un cylindre.

Représenter un objet de l'espace sur un plan, c'est choisir une convention. Plusieurs sont possibles, mais toutes déforment certaines longueurs ou certains angles. Le choix de la convention dépend de ce que tu veux montrer.

Les logiciels de géométrie dynamique aident beaucoup : ils permettent de tourner un solide à l'écran et de voir comment son image change.² Cette manipulation entraîne l'œil à passer de l'objet à sa représentation.

Pour passer de la géométrie des figures aux calculs, on utilise un repère. Cet outil, associé au XVIIe siècle aux travaux de René Descartes et de Pierre de Fermat, s'est révélé précieux à la naissance du calcul infinitésimal.⁴ Dans l'espace, un point se repère par trois nombres, un pour chaque direction.

Ce lien entre figures et nombres a fait évoluer la géométrie. Aujourd'hui, l'espace euclidien se définit avec l'algèbre : c'est un espace vectoriel ou affine réel, de dimension finie, doté d'un produit scalaire.⁴ Ces notions dépassent le programme de ta classe, mais elles expliquent pourquoi les calculs de longueurs reposent sur des formules algébriques.

La géométrie euclidienne reste un outil efficace plus de 2 000 ans après sa naissance. Sauf aux échelles cosmiques et microscopiques, l'espace des physiciens relève encore surtout d'elle.⁴ Pour un designer, un architecte ou un graphiste, c'est donc le bon cadre de travail.

Il existe pourtant d'autres géométries. On peut appliquer dans l'espace les axiomes des géométries non euclidiennes, hyperbolique ou elliptique.³ Ce choix a permis de construire un modèle géométrique de la gravité, dans lequel la notion de droite est remplacée par celle de géodésique.³ C'est un prolongement hors programme : retiens seulement que le modèle euclidien est un choix, très bien adapté aux objets du quotidien.