Géométrie dans l'espace : exercices corrigés de Terminale STD2A

On identifie la formule : $V = a^3$, avec $a = 6$ cm.

On remplace : $V = 6^3 = 6 \times 6 \times 6$.

On calcule : $6 \times 6 = 36$, puis $36 \times 6 = 216$.

On écrit l'unité : un volume s'exprime en centimètres cubes.

Dessus et dessous : $8 \times 5 = 40$ cm² chacune.

Devant et derrière : $8 \times 3 = 24$ cm² chacune.

Côtés gauche et droit : $5 \times 3 = 15$ cm² chacun.

On additionne une face de chaque paire : $40 + 24 + 15 = 79$ cm².

Chaque aire existe en deux exemplaires : $2 \times 79 = 158$ cm².

On note $d$ la diagonale de la base. Le triangle formé par les côtés $4$ et $3$ est rectangle, donc $d^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ et $d = 5$ cm.

On note $D$ la diagonale du pavé. Elle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $d = 5$ cm (dans la base) et $12$ cm (arête verticale).

On applique Pythagore : $D^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.

On prend la racine carrée : $D = \sqrt{169} = 13$ cm.

Vérification : on retrouve $D^2 = 4^2 + 3^2 + 12^2 = 169$, la somme des carrés des trois dimensions.

Aire de la base : $6 \times 6 = 36$ cm².

On écrit la formule : $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 4$.

On calcule le produit : $36 \times 4 = 144$.

On prend le tiers : $\frac{144}{3} = 48$.

On écrit l'unité : cm³.

Le pied de la hauteur est au centre du carré, à $3$ cm du milieu de chaque côté (moitié de $6$ cm).

Le triangle rectangle formé par la hauteur ($4$ cm), cette distance ($3$ cm) et l'apothème $h$ donne : $h^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.

Donc l'apothème vaut $h = 5$ cm.

Aire d'une face triangulaire : $\frac{6 \times 5}{2} = 15$ cm².

Il y a quatre faces identiques : $4 \times 15 = 60$ cm².

Aire du disque de base : $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm².

Volume : $V = 9\pi \times 10 = 90\pi$ cm³.

Valeur approchée : $90 \times 3{,}14159\ldots \approx 282{,}743$.

Arrondi au centième : $282{,}74$ cm³.

Triangle rectangle de côtés $3$ cm et $4$ cm : $g^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, donc $g = 5$ cm.

Aire de la base : $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm².

Volume : $V = \frac{1}{3} \times 9\pi \times 4 = 12\pi$ cm³.

Valeur approchée : $12 \times 3{,}14159\ldots \approx 37{,}699$.

Arrondi au centième : $37{,}70$ cm³.

Nouvelle arête : $4 \times 2{,}5 = 10$ cm.

Le coefficient d'agrandissement est $k = 2{,}5$, donc le volume est multiplié par $k^3 = 2{,}5^3 = 15{,}625$.

Volume de la maquette : $4^3 = 64$ cm³.

Volume agrandi : $64 \times 15{,}625 = 1\,000$ cm³.

Vérification directe : $10^3 = 1\,000$ cm³. Les deux calculs concordent.

Volume du socle : $10 \times 10 \times 2 = 200$ cm³.

Aire de la base de la pyramide : $10 \times 10 = 100$ cm².

Volume de la pyramide : $\frac{1}{3} \times 100 \times 6 = 200$ cm³.

Les deux solides ne se recouvrent pas : on additionne $200 + 200 = 400$ cm³.