Pavages et frises : cours de Terminale technologique (STD2A)

Tu as déjà marché sur un carrelage, regardé un papier peint ou admiré une mosaïque. Dans tous ces cas, un même dessin se répète. Les mathématiques donnent des mots précis pour décrire ce qui se répète et des outils pour le construire : ce sont les pavages et les frises.

Dans la série STD2A, ce chapitre relie la géométrie à la création. Les programmes placent frises, pavages et rosaces dans la thématique « Culture et création artistiques » ². On te demande de construire ces objets avec les instruments de tracé ou avec un logiciel de géométrie dynamique ¹².

Ce cours suit une progression simple :

1. définir un pavage, puis une frise ;
2. repérer le motif de base et les translations qui le répètent ;
3. comprendre la périodicité ;
4. tester des polygones réguliers avec les angles ;
5. relier le tout aux transformations du plan ;
6. savoir construire et éviter les erreurs classiques.

Imagine que tu poses des carreaux sur un sol infini. Chaque point du sol doit être couvert, et aucun carreau ne doit monter sur son voisin. C'est exactement cette idée.

On parle de pièces de base (ou formes) quand on se donne un petit nombre de figures de départ. Ces pièces pavent le plan s'il existe un pavage dont chaque pavé a la même forme et la même taille que l'une d'elles ⁴.

Pense à la bordure décorative qui court le long d'un mur ou autour d'un vase. Elle est comme une bande étroite. Le motif revient à intervalles réguliers dans une seule direction : le long de la bande.

Le mot « frise » a d'autres sens hors des mathématiques, notamment une région d'Europe du Nord-Ouest ⁵. Ici, il ne s'agit que de la frise géométrique.

Dans les ressources officielles, une activité typique demande de décrire les translations qui donnent le pavage à partir du motif de base ¹. Une autre demande l'inverse : retrouver le motif de base en partant du pavage ¹. Les deux se préparent par le même geste : repérer ce qui se répète et dans quel sens.

Une translation déplace toute une figure en la faisant glisser, sans la tourner ni la retourner. On la décrit par un sens, une direction et une longueur, c'est-à-dire par un vecteur. Les translations sont introduites justement pour décrire ou construire frises, pavages et rosaces ².

Pour une frise, une seule direction suffit : on parle du pas de la frise, c'est-à-dire la longueur de la translation qui ramène le motif sur lui-même.

Les pavages périodiques sont connus depuis l'Antiquité et ont beaucoup servi de motifs décoratifs en architecture ⁴. L'Alhambra de Grenade contient des mosaïques qui illustrent presque tous les types de pavages périodiques ⁴.

Les mathématiciens ont même classé ces pavages. En 1891, le cristallographe russe Evgraf Fedorov a montré qu'il n'existe que 17 types de groupes cristallographiques du plan ⁴. Il en découle 19 types de pavés pour les pavages périodiques du plan ⁴. Ce résultat dépasse le programme de ton année, mais il te montre que le nombre de types de symétrie possibles pour un pavage périodique est fini.

Un cas classique en géométrie : on pave le plan avec un seul type de polygone régulier. Peut-on le faire ? Il existe un test simple. Autour de chaque sommet du pavage, les angles des pièces doivent se compléter exactement pour faire un tour complet, soit $360^\circ$. S'il manque un peu d'angle, il reste un trou. S'il y en a trop, des pièces se chevauchent.

Les frises, les pavages et les rosaces sont un terrain très favorable pour manipuler les transformations de figures ². Les translations, les rotations et les homothéties sont introduites justement pour décrire ou construire ces objets ². Et ces objets servent à modéliser des situations issues des arts ².

Voici comment chaque transformation intervient :

• Translation : elle répète le motif le long d'une direction. C'est le moteur d'une frise et d'un pavage périodique.
• Rotation : elle fait tourner le motif autour d'un point. Elle construit les rosaces et certains pavages. Certains exercices de pavage officiels ne font d'ailleurs pas intervenir de rotation, et l'un d'eux peut même être proposé dès la classe de 3e ¹.
• Homothétie : elle agrandit ou réduit une figure. Elle sert à créer des motifs de plus en plus petits ou de plus en plus grands.

Une rosace est un motif qui tourne autour d'un centre, comme un vitrail circulaire. Une frise, elle, avance en ligne.

Les programmes demandent de construire frises, rosaces et pavages avec les instruments de tracé ou avec un logiciel ². Un logiciel de géométrie dynamique est utile pour transformer une figure, par exemple par translation ou rotation ¹. Un exemple d'activité officielle utilise le logiciel Pavages de Pascal Peter ¹. Une autre activité fournit des consignes de construction comme un triangle rectangle et isocèle, puis demande de représenter le motif de base et une partie du pavage ¹.