Pavages et frises : exercices corrigés de Terminale STD2A

On applique la translation une fois : $A_1(1+3\,;\,2+1)=A_1(4\,;\,3)$.

Deux fois : on ajoute encore $\vec u$, donc $A_2(7\,;\,4)$.

Trois fois : $A_3(10\,;\,5)$.

On voit la régularité : l'abscisse augmente de $3$ à chaque fois. Après quatre applications, $x=1+4\times 3=13$ et $y=2+4\times 1=6$, soit $A_4(13\,;\,6)$.

L'abscisse demandée est donc $13$.

Sur la longueur : $30\div 5=6$ carreaux.

Sur la largeur : $20\div 5=4$ carreaux.

Total : $6\times 4=24$ carreaux.

Contrôle : aire du mur $30\times 20=600$ cm², aire d'un carreau $5\times 5=25$ cm², et $600\div 25=24$. Les deux méthodes concordent.

Somme des angles de l'hexagone : $180\times(6-2)=720^\circ$.

Les six angles d'un hexagone régulier sont égaux : $720\div 6=120^\circ$.

Autour d'un sommet : $360\div 120=3$. Trois hexagones se rejoignent exactement, sans trou ni chevauchement.

Pentagone régulier : $180\times(5-2)\div 5=108^\circ$.

Or $360\div 108\approx 3{,}33$ n'est pas un entier : trois pentagones laissent un vide de $36^\circ$ et quatre se chevaucheraient. Le pentagone régulier seul ne peut pas paver le plan.

Somme des angles de l'octogone : $180\times(8-2)=1080^\circ$.

Angle d'un octogone régulier : $1080\div 8=135^\circ$.

Trois octogones donnent $3\times 135=405^\circ$, ce qui dépasse $360^\circ$ : les pièces se chevaucheraient. L'élève a tort.

Avec trois octogones, on dépasse le tour de $405-360=45^\circ$. Deux octogones donnent $270^\circ$ : il reste $90^\circ$ à combler. C'est l'angle d'un carré, ce qui explique pourquoi on voit parfois des octogones assemblés avec des carrés.

Aire d'un triangle : $\dfrac{4\times 4}{2}=8$ cm².

Deux triangles rectangles isocèles accolés par l'hypoténuse forment un carré de côté $4$ cm, d'aire $16$ cm².

Aire du rectangle : $12\times 8=96$ cm².

Nombre de triangles : $96\div 8=12$.

Contrôle avec les carrés : sur $12\times 8$ cm, on aligne $3\times 2=6$ carrés de côté $4$ cm, soit $6\times 2=12$ triangles.

Longueur de la bande : $1{,}2\times 100=120$ cm.

On calcule $120\div 7\approx 17{,}14$ : on peut placer $17$ motifs entiers.

Longueur occupée : $17\times 7=119$ cm.

Il reste $120-119=1$ cm de bande libre.

Abscisse : $2\times 4+3\times 1=11$.

Ordonnée : $2\times 0+3\times 3=9$. Le repère du motif est donc le point $(11\,;\,9)$.

Distance : $\sqrt{11^2+9^2}=\sqrt{121+81}=\sqrt{202}\approx 14{,}21$ cm.

Un pavage doit couvrir le plan, qui a deux dimensions : avec deux vecteurs non alignés, les points $m\vec u+n\vec v$ se répartissent dans tout le plan. Avec un seul vecteur, ils restent sur une droite, ce qui convient à une frise ⁴⁵.

Les diagonales se coupent en leur milieu : $OA=8\div 2=4$ dm et $OB=6\div 2=3$ dm.

Le triangle $AOB$ est rectangle en $O$. Par le théorème de Pythagore, $AB^2=4^2+3^2=25$, donc $AB=5$ dm.

Aire du losange : $\dfrac{8\times 6}{2}=24$ dm².

Nombre de losanges : $240\div 24=10$.

Remarque : on a supposé qu'aucune découpe n'est nécessaire. Sur un vrai panneau, les bords obligent à couper des pièces et il en faut un peu plus.