Ajustement affine : cours de Terminale technologique

Quand on étudie deux grandeurs en même temps, par exemple le temps écoulé et le nombre d'abonnés d'une application, on obtient une série statistique à deux variables. Tu l'as déjà représentée par un nuage de points : chaque couple de valeurs devient un point du plan.

Très souvent, ces points ne sont pas parfaitement alignés. Pourtant, ils semblent suivre une tendance. L'ajustement affine répond à une question simple : peut-on résumer cette tendance par une droite ? Si oui, on obtient un outil pratique pour décrire les données et faire des estimations.

Dans ce cours, tu vas voir ce qu'est une droite d'ajustement, comment on l'obtient, comment juger si elle est sérieuse, ce qu'on peut en faire et surtout ce qu'on ne doit pas lui faire dire. À la fin, tu verras aussi comment traiter un nuage qui ne ressemble pas à une droite.

Cette démarche sert d'abord en analyse de données : elle permet de décider si lier deux variables par une relation affine a du sens, puis d'estimer les coefficients de cette relation. ²

Quand la droite est connue, on la trace comme droite de tendance. Elle aide alors à anticiper une évolution à court terme, et à interpoler, c'est-à-dire à estimer une valeur située entre deux mesures réelles. ²

Il existe plusieurs façons de déterminer la droite. L'ajustement affine peut s'obtenir par régression linéaire, en particulier avec la méthode des moindres carrés. D'autres méthodes existent, par exemple en découpant les valeurs en groupes. Leur intérêt dépend du contexte : mesures expérimentales avec du bruit, série chronologique, ressources de calcul disponibles. ²

En Terminale technologique, tu n'as pas à calculer la droite à la main : la calculatrice ou le tableur te donnent directement les coefficients $a$ et $b$. Ton travail consiste à saisir correctement les données, à lire l'équation, puis à l'interpréter.

Les points d'un nuage se répartissent autour d'un point particulier : le point moyen, dont les coordonnées sont la moyenne des $x_i$ et la moyenne des $y_i$. Le graphique centré sur ce point sert à comprendre le rôle de l'indicateur de qualité que tu verras plus loin. ²

Une droite existe toujours, même pour un nuage complètement éparpillé. Il faut donc un moyen de savoir si elle est légitime. La qualité de l'ajustement affine se mesure par le coefficient de corrélation linéaire, noté $r$. ²

La calculatrice et le tableur le fournissent en même temps que la droite.

Une fois la droite validée, on remplace $x$ par la valeur voulue dans l'équation pour obtenir une valeur estimée de $y$. On distingue deux situations.

• Quand la valeur de $x$ se trouve entre deux valeurs mesurées, on fait une interpolation.
• Quand elle se trouve en dehors de l'étendue des mesures, on fait une extrapolation.

Ces deux usages sont les raisons d'être de l'ajustement. ¹

Un bon ajustement ne dit pas tout. Deux mises en garde reviennent dans le programme comme dans les consignes d'examen.

En Terminale technologique, l'étude de l'ajustement est prolongée par la recherche d'ajustements non affines. Le programme cite en particulier les ajustements qui se ramènent, par un changement de variable, à un ajustement affine. ¹

L'idée est la suivante. Si le nuage $(x\,;\,y)$ n'est pas aligné, on peut calculer une nouvelle variable $z$ à partir de $x$, par exemple $z = x^2$. On place ensuite les points $(z\,;\,y)$. Si ce nouveau nuage est aligné, on fait un ajustement affine entre $z$ et $y$, puis on revient à $x$.