Ajustement affine : fiche de révision de Terminale techno

Tu pars d'un nuage de points : chaque point représente deux mesures faites sur un même individu ou à un même moment. Les points ne sont presque jamais parfaitement alignés. L'ajustement affine répond à une question simple : existe-t-il une droite qui résume bien ce nuage ?

Cette droite s'appelle la droite d'ajustement. Son équation est de la forme $y = ax + b$, où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine. Elle ne passe pas forcément par les points du nuage : elle représente la tendance générale.

Au lycée, l'ajustement affine a été introduit pour réaliser des interpolations ou des extrapolations.¹ L'interpolation estime une valeur entre deux mesures connues. L'extrapolation en estime une en dehors des mesures, par exemple dans le futur.

Une droite peut toujours être tracée, même sur un nuage très dispersé. Il faut donc vérifier qu'elle a du sens. On mesure la qualité de l'ajustement avec le coefficient de corrélation linéaire, noté $r$.²

Pourquoi un $r$ petit en valeur absolue ? Autour du point moyen, un nuage mal adapté à une droite place à peu près autant de points dans chaque quadrant. Les effets des écarts se compensent alors dans la somme, et $r$ reste proche de 0.² Si, au contraire, l'essentiel des points se range dans deux quadrants opposés, la droite convient bien.²

La droite peut être obtenue par régression linéaire, en particulier par la méthode des moindres carrés.² D'autres méthodes existent, mais en Terminale technologique, tu utilises le plus souvent la calculatrice ou un tableur, qui fournissent directement l'équation de la droite.

En Terminale technologique, l'étude est prolongée par des ajustements non affines. Certains d'entre eux se ramènent à un ajustement affine par un changement de variable.¹ L'idée : au lieu de la variable d'origine, on en utilise une transformée pour laquelle le nuage devient presque aligné.