Ajustement affine : exercices corrigés de Terminale technologique

On repère que la durée de 8 minutes correspond à la variable $x$ : on pose $x = 8$.

On remplace dans l'équation : $y = 2{,}5 \times 8 + 10$.

On calcule le produit : $2{,}5 \times 8 = 20$.

On ajoute l'ordonnée à l'origine : $20 + 10 = 30$.

On vérifie que 8 minutes se trouve entre 2 et 12 minutes, donc dans la plage des mesures : la valeur est estimée entre deux mesures effectuées, c'est une interpolation.

On additionne les nombres d'abonnés : $12 + 15 + 19 + 22 + 27 = 95$.

On divise par le nombre de semaines, soit 5 : $\bar{y} = \dfrac{95}{5} = 19$.

On calcule de même la moyenne des semaines : $\bar{x} = \dfrac{1+2+3+4+5}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$.

On écrit les coordonnées du point moyen : $G(3\,;\,19)$.

On remplace $y$ par 30 dans l'équation : $30 = 3{,}2x + 8{,}8$.

On retranche 8,8 aux deux membres : $3{,}2x = 30 - 8{,}8 = 21{,}2$.

On divise les deux membres par 3,2 : $x = \dfrac{21{,}2}{3{,}2}$.

On calcule : $x = 6{,}625$.

On rédige : cela représente un peu plus de 6 heures et demie, soit 6 h 37 min 30 s.

Pour la question 1, on remplace $x$ par l'abscisse de $G$ : $3{,}7 \times 3 + 7{,}9$.

On calcule : $3{,}7 \times 3 = 11{,}1$, puis $11{,}1 + 7{,}9 = 19$.

On compare avec l'ordonnée de $G$, qui vaut aussi 19 : les coordonnées vérifient l'équation, donc $G$ est sur la droite.

Pour la question 2, on pose $x = 6$ : $y = 3{,}7 \times 6 + 7{,}9$.

On calcule : $3{,}7 \times 6 = 22{,}2$, puis $22{,}2 + 7{,}9 = 30{,}1$.

On conclut avec l'unité : environ 30,1 centaines, soit près de 3 010 abonnés.

Pour la semaine 4, on calcule la valeur de la droite : $3{,}7 \times 4 + 7{,}9 = 14{,}8 + 7{,}9 = 22{,}7$.

On soustrait cette valeur à la valeur observée : $22 - 22{,}7 = -0{,}7$. Le point est donc sous la droite.

On calcule les autres écarts de la même façon : semaine 1, $12 - 11{,}6 = 0{,}4$ ; semaine 2, $15 - 15{,}3 = -0{,}3$ ; semaine 3, $19 - 19 = 0$ ; semaine 5, $27 - 26{,}4 = 0{,}6$.

On compare les valeurs absolues : $0{,}4$ ; $0{,}3$ ; $0$ ; $0{,}7$ ; $0{,}6$. La plus grande est $0{,}7$.

On conclut : le plus grand écart concerne la semaine 4.

Pour une augmentation de 1 de $x$, $y$ augmente de $a$ : ici, $a = 3{,}7$. D'après la droite, chaque semaine supplémentaire apporte environ 3,7 centaines d'abonnés, soit 370.

Entre les semaines 2 et 7, $x$ augmente de $7 - 2 = 5$.

On multiplie l'augmentation de $x$ par le coefficient directeur : $3{,}7 \times 5 = 18{,}5$.

On peut recouper avec les images : pour $x = 2$, $y = 15{,}3$ ; pour $x = 7$, $y = 33{,}8$ ; et $33{,}8 - 15{,}3 = 18{,}5$.

On conclut avec l'unité : environ 18,5 centaines d'abonnés de plus.

On calcule $t = x^2$ : on obtient 1, 4, 9, 16 et 25.

On calcule la pente entre $(1\,;\,2{,}5)$ et $(4\,;\,4)$ : $\dfrac{4 - 2{,}5}{4 - 1} = \dfrac{1{,}5}{3} = 0{,}5$.

On vérifie avec d'autres points : entre $(4\,;\,4)$ et $(9\,;\,6{,}5)$, $\dfrac{2{,}5}{5} = 0{,}5$ ; entre $(9\,;\,6{,}5)$ et $(16\,;\,10)$, $\dfrac{3{,}5}{7} = 0{,}5$ ; entre $(16\,;\,10)$ et $(25\,;\,14{,}5)$, $\dfrac{4{,}5}{9} = 0{,}5$. La pente est toujours 0,5 : les points sont alignés.

On détermine $b$ avec le point $(1\,;\,2{,}5)$ : $2{,}5 = 0{,}5 \times 1 + b$, donc $b = 2$. L'équation est $y = 0{,}5t + 2$.

Pour $x = 6$, on calcule $t = 6^2 = 36$, puis $y = 0{,}5 \times 36 + 2 = 18 + 2 = 20$.

On conclut : le coût estimé est de 20 milliers d'euros.

On calcule les inverses : $z = 1$ ; $0{,}5$ ; $0{,}25$ ; $0{,}2$ ; $0{,}1$.

On vérifie $y = 4z + 1$ ligne par ligne : $4 \times 1 + 1 = 5$ ; $4 \times 0{,}5 + 1 = 3$ ; $4 \times 0{,}25 + 1 = 2$ ; $4 \times 0{,}2 + 1 = 1{,}8$ ; $4 \times 0{,}1 + 1 = 1{,}4$. Les cinq valeurs coïncident avec le tableau.

On résout $4z + 1 = 1{,}2$ : $4z = 0{,}2$, donc $z = 0{,}05$.

On revient à $x$ : $x = \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{0{,}05} = 20$.

On compare avec les données : le tableau s'arrête à 10 personnes, alors que 20 en est le double. Le résultat est donc une extrapolation, loin des valeurs étudiées.

On conclut avec prudence : le modèle donne 20 personnes, mais rien ne garantit qu'il reste valable si loin du nuage de points.

Pour la question 1, on rappelle que ce coefficient mesure la qualité de l'ajustement affine : plus il est proche de 1 en valeur absolue, mieux la droite approche le nuage.

Pour la question 2, on remarque qu'une droite tracée sur un nuage ne démontre aucun lien de causalité entre les deux grandeurs observées. Elle décrit l'alignement, pas son origine.

On en déduit que l'élève confond un bon alignement avec une explication. Le nuage ne dit pas laquelle des deux grandeurs agit sur l'autre, ni si l'une agit sur l'autre.

Pour la question 3, on cherche un facteur commun : la température. Les mois chauds, davantage de personnes achètent des glaces et davantage de personnes vont se baigner.

On rédige la conclusion : les deux variables évoluent ensemble parce qu'un troisième facteur agit sur elles, et non parce que l'une provoque l'autre.

On pose $x = 60$ dans l'équation : $y = 3{,}7 \times 60 + 7{,}9$.

On calcule le produit : $3{,}7 \times 60 = 222$.

On ajoute : $222 + 7{,}9 = 229{,}9$. La droite donne donc 229,9 centaines, soit environ 22 990 abonnés.

On compare avec les données : elles couvrent seulement les semaines 1 à 5, alors que la prévision porte sur la semaine 60, très loin de cet intervalle.

On rédige le jugement : la prévision est peu fiable, car loin du nuage de points le comportement des variables peut ne plus être affine. La chaîne peut se stabiliser, accélérer ou perdre des abonnés.