Mathématiques · Terminale technologiqueBac

Interpolation et extrapolation : cours de Terminale technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une série à deux variables, résumée par un ajustement affine (droite de régression), permet d'estimer des valeurs qui ne figurent pas dans le tableau.¹
Interpolation : on estime pour une valeur de $x$ située entre la plus petite et la plus grande valeur observées. Extrapolation : on estime en dehors de cet intervalle.⁴
On remplace $x$ dans l'équation $y=ax+b$ de la droite : le résultat est une estimation, jamais une certitude.
L'extrapolation linéaire n'est convaincante que si le nuage est proche d'un alignement, et elle devient moins sûre quand on s'éloigne des données.⁴
Toute réponse doit être interprétée : unité, contexte, et mention du caractère approché.

Pourquoi estimer une valeur qu'on n'a pas mesurée ?

Dans le chapitre sur les statistiques à deux variables, tu as représenté une série par un nuage de points, puis tu as cherché une droite qui passe au plus près de ces points : c'est l'ajustement affine. Cette droite n'est pas seulement un joli dessin. Elle sert à répondre à des questions concrètes que le tableau de données ne permet pas de traiter directement.

Par exemple, une entreprise a relevé son chiffre d'affaires chaque année pendant six ans. Que peut-on dire de l'année 4,5 (milieu d'exercice) ? Et de l'année 8, que personne n'a encore vécue ? Dans les deux cas, la valeur n'est pas dans le tableau. On peut pourtant en donner une estimation, en s'appuyant sur la droite d'ajustement.

Le programme prévoit justement d'appliquer les ajustements à des interpolations ou à des extrapolations, et d'utiliser un ajustement pour interpoler dans la résolution d'un problème.¹ Il s'agit donc d'une compétence attendue, que l'on retrouve dans les exercices de statistiques de la série technologique.

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

reconnaître si une estimation relève de l'interpolation ou de l'extrapolation ;
calculer une estimation à partir de l'équation d'une droite d'ajustement ;
retrouver la valeur de $x$ qui correspond à une valeur de $y$ donnée ;
estimer à la main entre deux points voisins (interpolation linéaire) ;
juger si le résultat est fiable, et le rédiger proprement.

Les deux notions : interpolation et extrapolation

Pour décider, une seule question suffit : où se trouve la valeur de $x$ demandée par rapport aux valeurs observées ?

Supposons que la série soit observée pour $x$ allant de $x_{\min}$ à $x_{\max}$ .

Valeur de $x$ demandée	Nature de l'estimation
$x_{\min} \le x \le x_{\max}$	interpolation
$x < x_{\min}$ ou $x > x_{\max}$	extrapolation

Attention au vocabulaire : on parle d'extrapolation dans les deux sens. Estimer une valeur avant le début des relevés (le passé) est aussi une extrapolation, pas seulement la prévision d'un futur.

Estimer avec la droite d'ajustement

Le cas le plus courant en terminale technologique : la calculatrice ou le tableur donne une droite de régression $y = ax + b$ . On a le droit de déterminer cette droite à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel.¹ Une fois l'équation connue, estimer revient à remplacer $x$ par une valeur et à calculer.

ExempleUn exemple complet

Une entreprise relève son chiffre d'affaires (en milliers d'euros) pendant six années consécutives, repérées par leur rang $x$ .

Rang $x$	1	2	3	4	5	6
Chiffre d'affaires $y$ (en k€)	12	15	19	22	26	29

Le nuage de points est presque aligné. Un ajustement affine par la méthode des moindres carrés, réalisé à la calculatrice, donne la droite d'équation

$y = 3{,}46\,x + 8{,}4$

(coefficients arrondis).

Question 1. Estimer le chiffre d'affaires au rang $4{,}5$ .

Le rang $4{,}5$ est entre $1$ et $6$ : c'est une interpolation.

$y = 3{,}46 \times 4{,}5 + 8{,}4 = 15{,}57 + 8{,}4 = 23{,}97$

On estime donc le chiffre d'affaires à environ $24$ milliers d'euros.

Question 2. Estimer le chiffre d'affaires au rang $8$ .

Le rang $8$ dépasse $6$ : c'est une extrapolation.

$y = 3{,}46 \times 8 + 8{,}4 = 27{,}68 + 8{,}4 = 36{,}08$

On estime le chiffre d'affaires à environ $36$ milliers d'euros, avec davantage de prudence que pour la question précédente.

Droite d'ajustement du chiffre d'affaires · Interpolation en x = 4,5 ; extrapolation en x = 8.

Sur le graphique, le point au rang $4{,}5$ est au milieu du nuage : la droite est entourée de points de mesure de part et d'autre. Le point au rang $8$ est au bout de la droite, là où plus aucune mesure ne la soutient.

Chercher $x$ quand on connaît $y$

Souvent, la question est inversée : « À partir de quelle année le chiffre d'affaires dépassera-t-il 50 milliers d'euros ? » On connaît alors $y$ et on cherche $x$ . Il faut résoudre une équation (ou une inéquation) du premier degré.

ExempleAtteindre un objectif

Avec la droite $y = 3{,}46\,x + 8{,}4$ , on cherche le rang $x$ pour lequel $y = 50$ .

$3{,}46\,x + 8{,}4 = 50 \iff 3{,}46\,x = 41{,}6 \iff x = \frac{41{,}6}{3{,}46} \approx 12{,}02$

Le rang $12{,}02$ est très au-delà de $6$ : c'est une extrapolation, et même une extrapolation lointaine. Pour « dépasser $50$ », il faut que $y > 50$ , donc $x > 12{,}02$ : le premier rang entier est $13$ .

On conclut que, si la tendance affine se poursuivait, le chiffre d'affaires dépasserait $50$ milliers d'euros à partir du rang $13$ . Cette hypothèse est lourde : on ne peut pas être sûr qu'elle se réalise.

Interpoler à la main entre deux points voisins

Il existe une autre façon d'interpoler, sans passer par la droite de régression : on utilise seulement les deux points connus les plus proches de la valeur cherchée. On suppose que, entre ces deux points, la courbe se comporte comme un segment de droite. C'est l'interpolation linéaire. Les sources la présentent comme le cas où la valeur cherchée est comprise entre les abscisses des deux points voisins ; l'extrapolation linéaire, elle, utilise la même formule avec une abscisse à l'extérieur.⁴

Démonstration · D'où vient la formule

La droite $(AB)$ a pour coefficient directeur $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ . Son équation est $y = m x + p$ . Comme $A$ est sur la droite, $y_1 = m x_1 + p$ , donc $p = y_1 - m x_1$ .

On obtient $y = m x + y_1 - m x_1 = y_1 + m (x - x_1)$ , ce qui est la formule annoncée.

Situer xCompare x à l'intervalle des données.
Calculer yRemplace x dans y = ax + b.
NommerInterpolation ou extrapolation ?
ConclurePhrase avec unité et réserve.

Démarche pour estimer une valeur · À suivre dans l'ordre pour chaque question d'estimation.

Quand l'estimation est-elle fiable ?

Un calcul juste ne garantit pas une conclusion juste. L'estimation dépend de la qualité du modèle, c'est-à-dire de la droite choisie, et de la distance entre la valeur demandée et les données. Voici les critères à vérifier avant de conclure.

Comment le vérifier ?

Regarde le nuage de points : les points sont-ils proches de la droite, sans courbure nette ?
Observe le coefficient de détermination $R^2$ s'il est fourni par la calculatrice ou le tableur : plus il est proche de $1$ , plus l'ajustement est convaincant.
Demande-toi si la tendance observée peut raisonnablement se prolonger dans le contexte (un prix, une population, une température…).

Rédiger une réponse complète au bac

Au bac, une question d'interpolation ou d'extrapolation se traite en quatre gestes : tu écris le calcul, tu donnes le résultat avec son unité, tu précises la nature de l'estimation et tu interprètes. La programmation officielle insiste sur la capacité à interpréter les résultats et à rédiger une conclusion dans le contexte.²

Exercices corrigés

Exercice 1 Prévoir un rang hors du tableau

★☆☆Environ 8 min

Une association relève le nombre d'adhérents (en dizaines) pendant cinq années, repérées par leur rang $x$ de $1$ à $5$ . Un ajustement affine donne la droite d'équation $y = 1{,}8\,x + 25$ .

Estimer le nombre d'adhérents au rang $7$ .
S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? Justifier.

Indice 1

Remplace $x$ par $7$ dans l'équation.

Indice 2

Compare $7$ aux rangs observés.

Voir la correction pas à pas

On remplace $x$ par $7$ : $y = 1{,}8 \times 7 + 25$ .
On calcule : $1{,}8 \times 7 = 12{,}6$ , puis $12{,}6 + 25 = 37{,}6$ .
On conclut : environ $37{,}6$ dizaines d'adhérents, soit environ $376$ adhérents.
Le rang $7$ dépasse le rang maximal observé $5$ : c'est une extrapolation, donc une estimation à présenter avec prudence.

Le rang $7$ est hors de l'intervalle $[1 ; 5]$ : on extrapole. L'estimation vaut environ $37{,}6$ dizaines d'adhérents.

Exercice 2 Interpoler entre deux mesures

★★☆Environ 10 min

Pendant une expérience, on relève la température d'un liquide (en °C) en fonction du temps $x$ (en minutes).

Temps $x$ (min)	2	3	4
Température $y$ (°C)	31	37	40

Estimer par interpolation linéaire entre les deux mesures les plus proches la température au bout de $2{,}5$ minutes.

Indice 1

Utilise les points $(2 ; 31)$ et $(3 ; 37)$ .

Indice 2

Calcule d'abord le coefficient directeur.

Voir la correction pas à pas

$2{,}5$ est compris entre $2$ et $3$ : on utilise les points $A(2 ; 31)$ et $B(3 ; 37)$ .
Coefficient directeur : $\dfrac{37 - 31}{3 - 2} = 6$ °C par minute.
Formule : $y = 31 + 6 \times (2{,}5 - 2) = 31 + 3 = 34$ .
Conclusion : la température est estimée à environ $34$ °C. C'est une interpolation.

Au bout de $2{,}5$ minutes, la température est estimée à $34$ °C, valeur située entre $31$ °C et $37$ °C comme attendu.

Exercice 3 Quand l'objectif sera-t-il atteint ?

★★★Environ 12 min

Le nombre de visiteurs mensuels (en centaines) d'un site est modélisé, pour les rangs de mois $x$ de $1$ à $6$ , par la droite $y = 4{,}2\,x + 10$ .

Calculer l'estimation pour le rang $6$ .
Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $y = 60$ .
À partir de quel rang de mois entier la modélisation donne-t-elle plus de $60$ centaines de visiteurs ? S'agit-il d'une extrapolation ?

Indice 1

Pour la question 2, résous $4{,}2x + 10 = 60$ .

Indice 2

Calcule la valeur de la droite au rang entier précédent pour vérifier.

Voir la correction pas à pas

Rang $6$ : $y = 4{,}2 \times 6 + 10 = 25{,}2 + 10 = 35{,}2$ centaines.
On résout $4{,}2x + 10 = 60$ : $4{,}2x = 50$ , donc $x = \dfrac{50}{4{,}2} \approx 11{,}90$ .
Vérification au rang $11$ : $4{,}2 \times 11 + 10 = 56{,}2 < 60$ . Au rang $12$ : $4{,}2 \times 12 + 10 = 60{,}4 > 60$ .
Le premier rang entier au-dessus de $11{,}90$ est $12$ . Le rang $11{,}90$ dépasse $6$ : c'est une extrapolation, valable seulement si la tendance affine se poursuit.

Le seuil de $60$ centaines est franchi au rang $12$ , d'après la droite. Comme ce rang est hors de l'intervalle observé, la réponse est une extrapolation à prendre avec réserve.

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre interpolation et extrapolation, en une phrase ?

On interpole quand la valeur de $x$ demandée est entre la plus petite et la plus grande valeur observées, et on extrapole quand elle est en dehors.⁴ La question à te poser : « mon $x$ est-il dans l'intervalle des données ? »

Pourquoi l'extrapolation est-elle moins fiable ?

Parce que la droite n'est contrôlée par aucune mesure hors de l'intervalle observé. L'erreur de prédiction grandit à mesure qu'on s'éloigne des données.⁴ De plus, la tendance peut changer : le modèle affine n'est qu'une simplification valable sur une période limitée.

Dois-je toujours utiliser la droite de régression pour estimer ?

Non. Si l'énoncé fournit l'équation de la droite ou demande de la déterminer à la calculatrice ou au tableur, tu l'utilises.¹ Si l'énoncé demande d'estimer entre deux mesures voisines, tu peux utiliser l'interpolation linéaire avec ces deux points. Lis bien la consigne.

Comment arrondir le résultat d'une estimation ?

Garde une précision proche de celle des données de l'énoncé. Si les mesures sont des entiers, un résultat arrondi à l'unité ou au dixième suffit. Pour une question « à partir de quand », ne te contente pas d'arrondir : vérifie, en calculant la droite aux deux entiers voisins, quel est le premier rang qui convient.

Que faire si le nuage n'est pas aligné ?

Une droite n'est pas adaptée pour extrapoler.⁴ Tu peux signaler dans ta réponse que le modèle affine est discutable. Une interpolation entre deux points voisins reste souvent plus acceptable qu'une extrapolation, et tu dois dire que le résultat est seulement indicatif.

Sources

Ressources pédagogiques - Analyse statistique et ajustement affine, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Document académique - Statistiques à deux variables (STMG), Académie de la Guyane. Consulté le 11 novembre 2026.
Méthodes d'enseignement par interpolation et par extrapolation, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Extrapolation (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Interpolation et extrapolation : cours de Terminale technologique

L'essentiel

Pourquoi estimer une valeur qu'on n'a pas mesurée ?

Les deux notions : interpolation et extrapolation

Estimer avec la droite d'ajustement

Chercher $x$ quand on connaît $y$

Interpoler à la main entre deux points voisins

Quand l'estimation est-elle fiable ?

Rédiger une réponse complète au bac

Exercices corrigés

Exercice 1 Prévoir un rang hors du tableau

Exercice 2 Interpoler entre deux mesures

Exercice 3 Quand l'objectif sera-t-il atteint ?

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur