Interpolation et extrapolation : exercices de Terminale techno

Les abscisses observées vont de $1$ à $12$ : l'intervalle d'étude est $[1\,;12]$.

$x=7{,}5$ appartient à cet intervalle, entre deux mois observés : c'est une interpolation.

$x=0$ est inférieur au minimum $1$ : c'est une extrapolation.

$x=12$ est le maximum observé : la valeur correspond à une mesure déjà disponible, on n'a pas besoin d'estimer.

$x=15$ dépasse le maximum $12$ : c'est une extrapolation.

Les deux points sont $A(10\,;40)$ et $B(20\,;70)$.

Coefficient directeur : $a=\dfrac{70-40}{20-10}=\dfrac{30}{10}=3$ baguettes par degré.

Équation : $y=40+3(x-10)$.

Pour $x=14$ : $y=40+3\times 4=52$.

$14$ est entre $10$ et $20$ : c'est bien une interpolation.

On remplace $x$ par $18$ : $y=2{,}5\times 18+12$.

$2{,}5\times 18=45$, donc $y=45+12=57$.

L'intervalle observé est $[5\,;30]$ et $18$ s'y trouve : c'est une interpolation.

On rédige : pour $18\ °C$, on peut estimer environ $57$ glaces vendues par jour.

Rang de 2026 : $2026-2016=10$, donc $x=10$.

Estimation : $y=1{,}8\times 10+20{,}4=18+20{,}4=38{,}4$.

Les rangs observés vont de $0$ à $6$ et $10>6$ : c'est une extrapolation.

Le résultat est $38{,}4$ centaines, soit environ $3\,840$ adhérents.

Fiabilité : on prolonge la droite de quatre ans au-delà des données. Cette prévision suppose que la tendance reste affine, ce qui n'est pas garanti.

$\bar{x}=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}=3$ et $\bar{y}=\dfrac{12+15+17+21+24}{5}=\dfrac{89}{5}=17{,}8$.

Écarts en $x$ : $-2,-1,0,1,2$. Écarts en $y$ : $-5{,}8,\ -2{,}8,\ -0{,}8,\ 3{,}2,\ 6{,}2$.

Somme des produits : $11{,}6+2{,}8+0+3{,}2+12{,}4=30$.

Somme des carrés des écarts en $x$ : $4+1+0+1+4=10$, donc $a=\dfrac{30}{10}=3$.

Ordonnée à l'origine : $b=\bar{y}-a\bar{x}=17{,}8-3\times 3=8{,}8$. La droite est $y=3x+8{,}8$.

Pour $x=7$ : $y=3\times 7+8{,}8=29{,}8$.

$7>5$ : c'est une extrapolation.

On pose $3x+8{,}8=20$.

On soustrait : $3x=20-8{,}8=11{,}2$.

On divise : $x=\dfrac{11{,}2}{3}\approx 3{,}73$.

$3{,}73$ est compris entre $1$ et $5$ : c'est une interpolation.

Écart : $33-29{,}8=3{,}2$ milliers d'euros.

Écart relatif : $\dfrac{3{,}2}{33}\approx 0{,}0970$, soit environ $9{,}7\ \%$.

Pour $x=12$, on s'éloigne davantage des données $x\leq 5$.

Plus on s'éloigne de l'intervalle observé, plus l'erreur de prévision tend à augmenter ⁴, et la droite peut cesser de décrire correctement le phénomène.

Pour $x=60$ : $y=0{,}8\times 60+5=48+5=53$ cm.

$60>12$ : c'est une extrapolation, bien au-delà des données (cinq fois la durée observée).

Le modèle affine suppose une croissance constante de $0{,}8$ cm par mois, sans fin.

Pour beaucoup de plantes, la croissance ralentit avec le temps : le résultat est donc à prendre avec prudence, voire à rejeter si on sait que la plante s'arrête de grandir.

On soustrait : $3x>50-8{,}8=41{,}2$.

On divise par $3>0$ : $x>\dfrac{41{,}2}{3}\approx 13{,}73$.

Le plus petit entier strictement supérieur à $13{,}73$ est $14$.

Vérification : pour $x=14$, $y=3\times 14+8{,}8=50{,}8>50$ ; pour $x=13$, $y=47{,}8<50$.

Les rangs observés vont jusqu'à $5$ : $14$ est loin, c'est une extrapolation lointaine. Le résultat est une projection sous réserve que la tendance reste affine.