Le nuage de points : cours de Terminale technologique

En statistique à une variable, tu étudies une seule grandeur : des tailles, des notes, des températures. Mais dans la vie courante et dans les sciences, on se demande souvent si deux grandeurs varient ensemble. La vitesse d'un véhicule a-t-elle un lien avec le nombre d'accidents ? La température extérieure influence-t-elle les ventes d'un glacier ? Le temps de révision change-t-il la note obtenue ?

Pour répondre, on mesure les deux grandeurs sur les mêmes individus, puis on dessine un graphique qui montre tout d'un coup d'œil : le nuage de points. Ce graphique est la première étape de l'étude d'une série statistique à deux variables. Il précède l'ajustement affine, c'est-à-dire la recherche d'une droite qui résume la tendance, puis l'interpolation et l'extrapolation, qui utilisent cette droite pour estimer des valeurs.

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

• lire un tableau de données à deux variables ;
• construire un nuage de points à la main ou avec un tableur ;
• décrire sa forme avec les bons mots ;
• calculer le point moyen ;
• éviter les interprétations hâtives.

Une série statistique à deux variables associe à chaque individu deux valeurs. On note la première $x_i$ et la seconde $y_i$. Le couple $(x_i\,;\,y_i)$ se lit comme des coordonnées dans un repère : $x_i$ sur l'axe horizontal, $y_i$ sur l'axe vertical.

Avec un tableur, le principe est le même : tu saisis deux colonnes de données, tu sélectionnes les deux colonnes et tu choisis le type de graphique « nuage de points » (ou « nuage de points non reliés »). Le logiciel choisit les échelles seul, mais tu dois toujours vérifier qu'elles sont lisibles et que les axes portent un titre.¹

Une fois le nuage tracé, on le regarde de loin, en plissant un peu les yeux. Sa silhouette raconte déjà quelque chose. Trois cas se présentent souvent.

• Le nuage est étiré dans une direction, comme une traînée allongée : les deux variables semblent liées. Quand $x$ augmente, $y$ augmente (traînée qui monte) ou $y$ diminue (traînée qui descend).
• Le nuage est ramassé en tache ronde : on ne voit pas de lien simple entre les deux variables.
• Le nuage suit une courbe (par exemple une parabole) : le lien existe mais n'est pas affine.

Le point moyen sert de repère pour tracer à la main une droite qui suit la tendance : on la fait passer par $G$ et au plus près des autres points. Une autre méthode, appelée méthode des points moyens, découpe le nuage en deux groupes : l'un formé des points les plus à gauche, l'autre des points les plus à droite. On calcule le point moyen de chaque groupe, notés $G_1$ et $G_2$, puis on trace la droite $(G_1G_2)$.²

Quand la variable $x$ est le temps (années, mois), on parle de série chronologique. Le nuage obtenu se lit de la même façon, mais on dispose d'une information supplémentaire : l'ordre des points. Dans ce cas, relier les points par une courbe peut aider à voir l'évolution. Les exercices d'accompagnement du programme proposent ainsi de tracer l'évolution d'une grandeur au cours des années en reliant les points, puis de tracer le nuage non relié pour étudier un lien entre deux autres grandeurs.¹

Le nuage de points est le point de départ d'une démarche en trois temps. D'abord on observe : le nuage a-t-il une forme allongée ? Ensuite on modélise : on cherche une droite $y = ax + b$ qui passe au plus près des points. Enfin on exploite : on utilise la droite pour estimer une valeur non mesurée, soit à l'intérieur de la plage des données (interpolation), soit au-delà (extrapolation).

Le mot « ajuster » signifie que la droite ne passe pas forcément par tous les points : l'écart entre la droite et chaque point est vu comme une imprécision de mesure ou un bruit.⁴ Plus le nuage est proche d'une droite, plus l'ajustement est fiable ; plus il s'en éloigne, plus on doit se méfier des estimations.