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Le raisonnement par récurrence : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le raisonnement par récurrence démontre une propriété P(n) vraie pour tous les entiers n à partir d'un rang n0.⁴
Trois étapes : initialisation (P(n0) est vraie), hérédité (si P(n) est vraie alors P(n+1) l'est), conclusion.³
Dans l'hérédité, on suppose P(n) pour un entier n quelconque et on en déduit P(n+1) : c'est le cœur du travail.
Vérifier quelques valeurs ne démontre rien ; l'initialisation seule ne démontre rien non plus. Il faut les deux étapes.
Au programme, on s'en sert pour établir des propriétés de suites : formule explicite, majoration, monotonie, inégalité de Bernoulli.¹

Pourquoi un raisonnement spécial pour les entiers ?

Tu connais déjà plein de formules qui dépendent d'un entier $n$ : la somme des $n$ premiers entiers, le terme général d'une suite, une inégalité entre deux suites. Pour chacune, une question revient : comment être sûr qu'elle marche pour tous les entiers, alors qu'il y en a une infinité ? Tu ne peux pas tester les entiers un par un : tu n'auras jamais fini.

Le raisonnement par récurrence répond à ce problème. C'est une méthode de démonstration qui sert à prouver une propriété portant sur tous les entiers naturels.⁴ Le programme de la classe de Terminale en spécialité mathématiques l'inscrit dans le travail sur les suites : il s'agit de raisonner par récurrence pour établir une propriété d'une suite.¹

Dans ce cours, tu vas apprendre à reconnaître les situations où l'utiliser, à rédiger les trois étapes sans rien oublier, et à éviter les erreurs que l'on rencontre le plus souvent en copie.

L'image des dominos

Une manière de se représenter le raisonnement est le jeu de la chute des dominos : on imagine une file infinie de dominos numérotés $0, 1, 2, 3, \dots$ et l'on cherche à quelles conditions tous vont tomber.⁴ Il suffit que le premier domino tombe, et que la chute de n'importe quel domino entraîne celle du suivant.⁴

Si $P(n)$ désigne « le domino numéro $n$ tombe », alors la chute du domino $0$ correspond à l'initialisation, et le fait qu'un domino qui tombe fait tomber le suivant correspond à l'hérédité.⁴

Cette image montre pourquoi les deux conditions sont nécessaires :

Si le premier domino ne tombe pas, rien ne démarre, même si chaque domino est parfaitement placé pour faire tomber le suivant.
Si le premier domino tombe mais qu'un domino est trop loin de son voisin, la chaîne s'arrête à cet endroit.

Pour un raisonnement par récurrence, c'est pareil : une initialisation sans hérédité ne prouve qu'un cas particulier, une hérédité sans initialisation ne prouve rien du tout. Nous reviendrons sur ce second cas avec un exemple étonnant.

Les trois étapes d'une démonstration

Une démonstration par récurrence suit toujours le même plan en trois étapes : l'initialisation, l'hérédité et la conclusion.³ Voyons ce que contient chacune.

InitialisationVérifier que P(n0) est vraie.
HéréditéSupposer P(n), démontrer P(n+1).
ConclusionP(n) est vraie pour tout n ≥ n0.

Les trois étapes d'une récurrence · Le plan à suivre pour toute démonstration par récurrence.

L'hérédité est la partie technique la plus délicate de la démonstration.³ On peut y partir de l'hypothèse de récurrence et la transformer pour obtenir $P(n+1)$ .³ Une autre habitude utile consiste à écrire d'abord, au brouillon, la propriété $P(n+1)$ que l'on vise : cela donne le but à atteindre et évite de se perdre dans les calculs.

Un dernier point sur la reconnaissance : dans certains exercices, l'énoncé ne précise pas qu'il faut raisonner par récurrence.³ Quelques indices doivent t'alerter : une suite définie par une relation du type $u_{n+1} = f(u_n)$ , une propriété demandée « pour tout entier naturel $n$ », ou une formule dont on te donne une conjecture à démontrer. Dès que tu vois l'un d'eux, pense à la récurrence.

Premier exemple rédigé : la somme des entiers

Prenons un exemple classique pour voir la méthode complète. On veut démontrer que, pour tout entier $n \geq 1$ :

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$

On note $P(n)$ cette égalité.

ExempleSomme des n premiers entiers

Initialisation. Pour $n = 1$ , le membre de gauche vaut $1$ et le membre de droite vaut $\dfrac{1 \times 2}{2} = 1$ . Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \geq 1$ un entier. Supposons que $P(n)$ est vraie, c'est-à-dire

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$

On veut montrer que $1 + 2 + \dots + n + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ . On part du membre de gauche et on utilise l'hypothèse de récurrence :

$\begin{aligned} 1 + 2 + \dots + n + (n+1) &= \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) \\ &= \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} \\ &= \frac{(n+1)(n+2)}{2}. \end{aligned}$

Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(1)$ est vraie et la propriété est héréditaire à partir du rang $1$ : pour tout entier $n \geq 1$ , $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Suites définies par une relation de récurrence

C'est le cadre le plus fréquent au programme. On te donne une suite par son premier terme et une relation qui permet de passer d'un terme au suivant, et on te demande une propriété valable pour tous les termes. Par exemple, retrouver une formule explicite à partir d'une conjecture : on calcule les premiers termes, on devine une formule, puis on la démontre par récurrence.

Le programme demande aussi d'exprimer en fonction de $n$ le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique.² Depuis la Première, tu sais le faire directement avec les formules du cours. La récurrence fournit une preuve rigoureuse quand la formule est devinée plutôt que démontrée par un théorème du cours.

ExempleUne formule explicite à démontrer

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 2u_n + 1$ .

Calculons les premiers termes : $u_1 = 1$ , $u_2 = 3$ , $u_3 = 7$ , $u_4 = 15$ . On conjecture que $u_n = 2^n - 1$ pour tout entier naturel $n$ .

Initialisation. $u_0 = 0$ et $2^0 - 1 = 0$ . La propriété est vraie au rang $0$ .

Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ . Supposons que $u_n = 2^n - 1$ . Alors

$u_{n+1} = 2u_n + 1 = 2(2^n - 1) + 1 = 2^{n+1} - 2 + 1 = 2^{n+1} - 1.$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$ .

Conclusion. Pour tout entier naturel $n$ , $u_n = 2^n - 1$ .

Démontrer des inégalités

La récurrence sert aussi à établir des inégalités. Le principe est le même, mais l'hérédité se fait par des majorations ou des minorations successives plutôt que par des égalités. Dans cette situation, il faut penser aux règles de calcul sur les inégalités : on peut ajouter deux inégalités de même sens, et on peut multiplier une inégalité par un nombre strictement positif sans changer son sens.

Un résultat important est l'inégalité de Bernoulli, que le programme associe à la limite de la suite $(q^n)$ : on la démontre par récurrence.¹ Pour tout réel $a > 0$ et tout entier naturel $n$ :

$(1 + a)^n \geq 1 + na.$

Démonstration · Preuve de l'inégalité de Bernoulli

Soit $a > 0$ . On note $P(n)$ la propriété $(1+a)^n \geq 1 + na$ .

Initialisation. Pour $n = 0$ : $(1+a)^0 = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ . Donc $1 \geq 1$ et $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $(1+a)^n \geq 1 + na$ . Comme $1 + a > 0$ , on peut multiplier les deux membres par $1+a$ sans changer le sens de l'inégalité :

$(1+a)^{n+1} \geq (1 + na)(1 + a) = 1 + (n+1)a + na^2.$

Or $na^2 \geq 0$ , donc $1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a$ . Ainsi $(1+a)^{n+1} \geq 1 + (n+1)a$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout entier naturel $n$ , $(1+a)^n \geq 1 + na$ .

Montrer qu'une suite est majorée ou monotone

Une application très fréquente de la récurrence concerne les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ . Dans ce cas, on veut souvent prouver qu'elle est majorée, minorée, croissante ou décroissante. Ces propriétés sont à la base des théorèmes sur les limites que tu verras ensuite : le programme mentionne par exemple qu'une suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$ .¹

La clé est de bien choisir la propriété $P(n)$ : ce n'est pas toujours « $u_n = \dots$ », cela peut être « $u_n \leq 2$ » ou « $u_n \leq u_{n+1}$ ».

ExempleUne suite majorée et croissante

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Montrons que, pour tout $n$ , $0 \leq u_n \leq 2$ .

Initialisation : $u_0 = 0$ et $0 \leq 0 \leq 2$ .

Hérédité : supposons $0 \leq u_n \leq 2$ . En ajoutant $2$ : $2 \leq u_n + 2 \leq 4$ . La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$ , donc $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq \sqrt{4} = 2$ . Comme $\sqrt 2 \geq 0$ , on a bien $0 \leq u_{n+1} \leq 2$ .

Conclusion : pour tout $n$ , $0 \leq u_n \leq 2$ .

Montrons que $(u_n)$ est croissante, c'est-à-dire $u_n \leq u_{n+1}$ .

Initialisation : $u_0 = 0 \leq \sqrt{2} = u_1$ .

Hérédité : supposons $u_n \leq u_{n+1}$ . Alors $u_n + 2 \leq u_{n+1} + 2$ , et par croissance de la racine carrée, $\sqrt{u_n + 2} \leq \sqrt{u_{n+1} + 2}$ , c'est-à-dire $u_{n+1} \leq u_{n+2}$ .

Conclusion : pour tout $n$ , $u_n \leq u_{n+1}$ .

Variantes : choisir le premier rang et rédiger proprement

Le premier rang n'est pas toujours $0$ . Une propriété peut être fausse pour les petits entiers et vraie à partir d'un certain rang $n_0$ : on initialise alors à $n_0$ , et la conclusion porte sur les entiers $n \geq n_0$ . Dans l'exemple de la somme des entiers, on a ainsi initialisé à $n = 1$ .

Il existe d'autres formes de récurrence⁴, par exemple la récurrence forte où l'hypothèse porte sur tous les rangs précédents. Elles ne sont pas nécessaires pour les exercices courants de Terminale, où la récurrence simple suffit.

Récurrence

Étapes
- Initialisation
- Hérédité
- Conclusion
Usages
- Formule explicite
- Inégalité
- Monotonie
Pièges
- Pas d'initialisation
- Quelques cas testés
- Supposer P(n+1)
Outils
- Hypothèse P(n)
- Rang de départ
- Calcul algébrique

La récurrence en un coup d'œil · Ce qu'il faut garder en tête avant de rédiger.

Les erreurs qui font perdre des points

D'où vient cette méthode ?

La naissance du raisonnement par récurrence se prête à discussion, car tout dépend de ce qu'on accepte d'appeler ainsi.⁴ Au XVIIe siècle, Bernoulli propose de démontrer le passage de $n$ à $n+1$ , ce qui correspond exactement au raisonnement par récurrence.⁴ Pascal et Bernoulli ont été considérés comme ses pères au XIXe siècle ; dans la première moitié du XXe siècle, on a beaucoup cité le mathématicien italien Francesco Maurolico (1494-1575), auteur d'un ouvrage de 1575.⁴

Le programme de spécialité présente la récurrence comme une véritable porte d'entrée sur l'infini.¹ Elle permet en effet, avec un nombre fini de lignes, d'établir une propriété sur une infinité d'entiers. Plus généralement, la récurrence traduit le fait que les entiers naturels sont construits à partir d'un premier entier en passant sans cesse au successeur.⁴

Exercices corrigés

Exercice 1 Une suite et sa formule explicite

★☆☆Environ 10 min

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 3u_n - 2$ .

Calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et conjecture une expression de $u_n$ en fonction de $n$ .
Démontre cette conjecture par récurrence.
Donne la valeur de $u_5$ .

Indice 1

Pour la conjecture, regarde $u_n - 1$ : quelle suite reconnais-tu ?

Indice 2

Dans l'hérédité, remplace $u_n$ par la formule supposée dans $3u_n - 2$ .

Voir la correction pas à pas

Calcul des premiers termes : $u_1 = 3 \times 2 - 2 = 4$ , $u_2 = 3 \times 4 - 2 = 10$ , $u_3 = 3 \times 10 - 2 = 28$ . Les valeurs $u_n - 1$ sont $1, 3, 9, 27$ : ce sont les puissances de $3$ . On conjecture $u_n = 3^n + 1$ .
Initialisation : $3^0 + 1 = 2 = u_0$ . La propriété est vraie au rang $0$ .
Hérédité : on suppose $u_n = 3^n + 1$ pour un entier $n$ fixé. Alors $u_{n+1} = 3(3^n + 1) - 2 = 3^{n+1} + 3 - 2 = 3^{n+1} + 1$ . La propriété est vraie au rang $n+1$ .
Conclusion : pour tout entier naturel $n$ , $u_n = 3^n + 1$ .
Application : $u_5 = 3^5 + 1 = 243 + 1 = 244$ .

Retiens la démarche en deux temps : on devine la formule avec les premiers termes, puis on la démontre par récurrence. Les calculs du début ne prouvent jamais rien, mais ils orientent la conjecture.

Exercice 2 Somme des nombres impairs

★★☆Environ 12 min

Pour tout entier $n \geq 1$ , on note $S_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)$ , la somme des $n$ premiers entiers impairs.

Calcule $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ et conjecture une formule pour $S_n$ .
Démontre-la par récurrence.
Calcule la somme des $12$ premiers entiers impairs.

Indice 1

Compare chaque valeur de $S_n$ avec $n$ : le résultat est un carré parfait.

Indice 2

Dans l'hérédité, écris $S_{n+1} = S_n + (2(n+1) - 1)$ .

Voir la correction pas à pas

Premiers calculs : $S_1 = 1$ , $S_2 = 1 + 3 = 4$ , $S_3 = 4 + 5 = 9$ , $S_4 = 9 + 7 = 16$ . On conjecture $S_n = n^2$ .
Initialisation : $S_1 = 1 = 1^2$ . La propriété est vraie au rang $1$ .
Hérédité : soit $n \geq 1$ tel que $S_n = n^2$ . Le terme suivant est $2(n+1) - 1 = 2n + 1$ . Donc $S_{n+1} = S_n + 2n + 1 = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$ .
Conclusion : pour tout entier $n \geq 1$ , $S_n = n^2$ .
Pour $n = 12$ : $S_{12} = 12^2 = 144$ .

Ici l'hérédité consiste à ajouter le terme suivant à la somme et à reconnaître une identité remarquable. Cette technique, « ajouter le terme de rang $n+1$ », revient dans toutes les démonstrations portant sur des sommes.

Exercice 3 Bernoulli et seuil de doublement

★★☆Environ 12 min

Un placement augmente de $2\,\%$ par an : la valeur après $n$ années est multipliée par $1{,}02^n$ .

Rappelle l'inégalité de Bernoulli pour $a = 0{,}02$ et utilise-la pour montrer que $1{,}02^n \geq 1 + 0{,}02\,n$ pour tout entier naturel $n$ .
En déduire le plus petit entier $n$ pour lequel la minoration $1 + 0{,}02\,n$ atteint au moins $2$ . Que peux-tu en conclure sur le doublement du capital ?

Indice 1

Pour la preuve, multiplie l'hypothèse de récurrence par $1{,}02$ , qui est strictement positif.

Indice 2

Résous l'inéquation $1 + 0{,}02\,n \geq 2$ .

Voir la correction pas à pas

Initialisation : $1{,}02^0 = 1 \geq 1 + 0 = 1$ . Vrai.
Hérédité : on suppose $1{,}02^n \geq 1 + 0{,}02\,n$ . En multipliant par $1{,}02 > 0$ : $1{,}02^{n+1} \geq (1 + 0{,}02\,n) \times 1{,}02 = 1 + 0{,}02(n+1) + 0{,}0004\,n$ . Comme $0{,}0004\,n \geq 0$ , on obtient $1{,}02^{n+1} \geq 1 + 0{,}02(n+1)$ .
Conclusion : $1{,}02^n \geq 1 + 0{,}02\,n$ pour tout entier naturel $n$ .
On résout $1 + 0{,}02\,n \geq 2$ , soit $0{,}02\,n \geq 1$ , soit $n \geq 50$ . Le plus petit entier est $n = 50$ .
Conclusion sur le placement : au bout de $50$ ans, $1{,}02^{50} \geq 2$ , donc le capital a au moins doublé. L'inégalité de Bernoulli donne ici une garantie, pas la valeur exacte.

L'inégalité de Bernoulli donne une minoration simple d'une puissance, qui permet de répondre à des questions de seuil sans calculer la puissance elle-même. C'est une première approche des limites de suites.

Exercice 4 Racine itérée : suite bornée et monotone

★★★Environ 15 min

Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1} = \sqrt{v_n + 6}$ .

Démontre par récurrence que, pour tout $n$ , $1 \leq v_n \leq 3$ .
Démontre par récurrence que la suite $(v_n)$ est croissante.
Que peux-tu dire de la suite, d'après les deux questions ?

Indice 1

Pour la question 1, pars de $1 \leq v_n \leq 3$ et applique les opérations dans l'ordre : ajouter $6$ , puis la racine carrée.

Indice 2

Pour la question 2, la propriété est $v_n \leq v_{n+1}$ ; l'initialisation compare $v_0$ et $v_1$ .

Voir la correction pas à pas

Propriété $P(n)$ : $1 \leq v_n \leq 3$ . Initialisation : $v_0 = 1$ , donc $1 \leq 1 \leq 3$ .
Hérédité : si $1 \leq v_n \leq 3$ , alors $7 \leq v_n + 6 \leq 9$ . La racine carrée étant croissante sur $[0\,;+\infty[$ , $\sqrt{7} \leq v_{n+1} \leq 3$ . Comme $\sqrt 7 \geq 1$ , on a $1 \leq v_{n+1} \leq 3$ . Conclusion : $1 \leq v_n \leq 3$ pour tout $n$ .
Propriété $Q(n)$ : $v_n \leq v_{n+1}$ . Initialisation : $v_1 = \sqrt{7} \approx 2{,}65 \geq 1 = v_0$ .
Hérédité : si $v_n \leq v_{n+1}$ , alors $v_n + 6 \leq v_{n+1} + 6$ , et par croissance de la racine carrée $v_{n+1} \leq v_{n+2}$ . Conclusion : la suite est croissante.
Bilan : la suite est croissante et majorée par $3$ , ses valeurs restent donc dans $[1\,;3]$ et ne peuvent pas tendre vers $+\infty$ . Le chapitre suivant précisera ce qu'on peut en déduire sur sa limite.

Deux récurrences distinctes, avec deux propriétés différentes : l'encadrement et la monotonie. Chaque fois, on applique la fonction $x \mapsto \sqrt{x + 6}$ à l'hypothèse en vérifiant qu'elle est croissante.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir qu'il faut utiliser une récurrence ?

Parfois l'énoncé le dit, parfois non : certains énoncés ne précisent pas qu'il faut raisonner par récurrence.³ Cherche les indices suivants : une propriété demandée pour tout entier naturel $n$ , une suite définie par $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ , ou une conjecture à démontrer après des calculs de premiers termes. Si tu ne peux pas passer directement d'une formule générale au résultat, la récurrence est probablement la bonne méthode.

Quelle différence entre l'hypothèse de récurrence et ce qu'on veut démontrer ?

L'hypothèse de récurrence est $P(n)$ pour un entier $n$ fixé : tu as le droit de t'en servir. Ce que tu veux démontrer est $P(n+1)$ : c'est le but. Si tu pars de $P(n+1)$ pour retrouver $P(n)$ , tu risques de raisonner à l'envers. Le plus sûr est de partir du membre de gauche de $P(n+1)$ , de faire apparaître l'expression de $P(n)$ , puis de la remplacer.

Pourquoi l'initialisation est-elle obligatoire si l'hérédité est correcte ?

Parce que l'hérédité ne dit que « si c'est vrai à un rang, c'est vrai au suivant ». Elle ne dit pas que c'est vrai quelque part. C'est comme des dominos bien alignés dont aucun n'est poussé.⁴ L'exemple de « $n = n+1$ » montre une hérédité correcte pour une propriété fausse pour tous les entiers.

Peut-on commencer à un rang autre que 0 ?

Oui. Si la propriété n'a de sens ou n'est vraie qu'à partir d'un rang $n_0$ , on initialise à $n_0$ et on conclut pour tout entier $n \geq n_0$ . Par exemple, la formule de la somme des entiers a été démontrée à partir de $n = 1$ . Vérifie simplement que ton hérédité est valable pour tous les $n \geq n_0$ .

Que faire si je ne trouve pas comment passer de P(n) à P(n+1) ?

Écris au brouillon ce que dit $P(n+1)$ , puis compare avec $P(n)$ . Cherche ce qui change : un terme de plus dans une somme, un facteur de plus dans un produit, une fonction appliquée à $u_n$ . Pour une inégalité, essaie de multiplier ou d'ajouter la même quantité aux deux membres de l'hypothèse. Dans l'hérédité, on part souvent de l'hypothèse pour arriver au rang suivant.³

La récurrence sert-elle seulement pour les suites ?

Non, elle s'applique à toute propriété portant sur les entiers naturels : sommes, divisibilité, inégalités.⁴ Mais au programme de spécialité de Terminale, on l'utilise surtout pour établir des propriétés de suites.¹ Elle sert ensuite à justifier des résultats sur les limites, comme le comportement des suites géométriques.

Sources

Programme de Mathématiques spécialité Terminale générale - Document pédagogique Éduscol, Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources Éduscol - Vocabulaire ensembliste et logique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
TD Suites et Raisonnement par Récurrence - Classe de Terminale spécialité, Académie de Normandie. Consulté le 6 novembre 2026.
Raisonnement par récurrence, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Récurrence, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi un raisonnement spécial pour les entiers ?

L'image des dominos

Les trois étapes d'une démonstration

Premier exemple rédigé : la somme des entiers

Suites définies par une relation de récurrence

Démontrer des inégalités

Montrer qu'une suite est majorée ou monotone

Variantes : choisir le premier rang et rédiger proprement

Les erreurs qui font perdre des points

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