Raisonnement par récurrence : exercices corrigés de Terminale

Premiers termes. $u_1=2\times 1+3=5$, $u_2=2\times 5+3=13$, $u_3=2\times 13+3=29$. On remarque que $2^{2}-3=1$, $2^3-3=5$, $2^4-3=13$, $2^5-3=29$ : la formule est plausible, il reste à la démontrer.

Propriété. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $u_n=2^{n+2}-3$ ».

Initialisation. Pour $n=0$ : $u_0=1$ et $2^{0+2}-3=4-3=1$. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel fixé. On suppose $P(n)$ vraie, c'est-à-dire $u_n=2^{n+2}-3$ (hypothèse de récurrence). Alors $u_{n+1}=2u_n+3=2\left(2^{n+2}-3\right)+3=2^{n+3}-6+3=2^{n+3}-3$.

On reconnaît $2^{(n+1)+2}-3$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire, donc pour tout entier naturel $n$, $u_n=2^{n+2}-3$.

Valeur demandée. $u_{10}=2^{12}-3=4096-3=4093$.

Propriété. $P(n)$ : « $S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ », pour $n\ge 1$.

Initialisation. Pour $n=1$ : $S_1=1$ et $\dfrac{1\times 2}{2}=1$. $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\ge 1$ fixé tel que $P(n)$ soit vraie. On écrit $S_{n+1}=S_n+(n+1)$, puis on remplace $S_n$ grâce à l'hypothèse de récurrence : $S_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)$.

On factorise : $S_{n+1}=(n+1)\left(\dfrac{n}{2}+1\right)=(n+1)\times\dfrac{n+2}{2}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$. C'est exactement $P(n+1)$, car $(n+1)+1=n+2$.

Conclusion. $P(1)$ est vraie et $P$ est héréditaire à partir du rang 1 : pour tout $n\ge 1$, $S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Application. $S_{100}=\dfrac{100\times 101}{2}=5050$.

Contre-exemple. Pour $n=3$ : $2^3=8$ et $3^2=9$. Comme $8<9$, l'inégalité est fausse : on ne peut donc pas initialiser en $n=3$.

Propriété. $P(n)$ : « $2^n\ge n^2$ », pour $n\ge 4$.

Initialisation. Pour $n=4$ : $2^4=16$ et $4^2=16$. On a bien $16\ge 16$ : $P(4)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\ge 4$ fixé tel que $2^n\ge n^2$. En multipliant par 2 (nombre positif, le sens est conservé) : $2^{n+1}=2\times 2^n\ge 2n^2$.

Comparaison. Il suffit de montrer que $2n^2\ge (n+1)^2$. Or $2n^2-(n+1)^2=n^2-2n-1=(n-1)^2-2$. Comme $n\ge 4$, on a $(n-1)^2\ge 9$, donc $(n-1)^2-2\ge 7>0$.

On a donc $2^{n+1}\ge 2n^2\ge (n+1)^2$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(4)$ est vraie et $P$ est héréditaire à partir du rang 4 : pour tout $n\ge 4$, $2^n\ge n^2$.

Propriété. $P(n)$ : « il existe un entier $k$ tel que $3^{2n}-1=8k$ ».

Initialisation. Pour $n=0$ : $3^0-1=0=8\times 0$. $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ fixé tel que $P(n)$ soit vraie : $3^{2n}-1=8k$, donc $3^{2n}=8k+1$.

On calcule : $3^{2(n+1)}-1=9\times 3^{2n}-1=9(8k+1)-1=72k+9-1=72k+8=8(9k+1)$.

Comme $9k+1$ est un entier, $3^{2(n+1)}-1$ est un multiple de 8 : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^{2n}-1$ est un multiple de 8.

Cas $n=3$. $3^6-1=729-1=728$, et $728\div 8=91$. Le quotient est 91.

Question 1, propriété. $P(n)$ : « $0\le u_n<2$ ».

Initialisation. $u_0=0$, donc $0\le u_0<2$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ fixé tel que $0\le u_n<2$. Alors $2\le 2+u_n<4$. La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$, donc $\sqrt2\le\sqrt{2+u_n}<2$, soit $\sqrt2\le u_{n+1}<2$. Comme $\sqrt 2>0$, on a bien $0\le u_{n+1}<2$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion de la question 1. Pour tout $n$, $0\le u_n<2$.

Question 2. Pour tout $n$, $u_{n+1}^2-u_n^2=(2+u_n)-u_n^2=(2-u_n)(1+u_n)$. D'après la question 1, $2-u_n>0$ et $1+u_n>0$, donc $u_{n+1}^2>u_n^2$. Les deux termes étant positifs, on en déduit $u_{n+1}>u_n$ : la suite est strictement croissante. Ici, la récurrence n'est pas nécessaire pour la croissance, car le calcul direct suffit une fois l'encadrement acquis.

Question 3. $u_1=\sqrt{2+0}=\sqrt2\approx 1{,}4142$, puis $u_2=\sqrt{2+\sqrt2}\approx 1{,}8478$.

Initialisation. Pour $n=0$ : $(1+a)^0=1$ et $1+0\times a=1$. L'inégalité $1\ge 1$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ fixé tel que $(1+a)^n\ge 1+na$. Comme $1+a>0$, on multiplie sans changer le sens : $(1+a)^{n+1}\ge (1+a)(1+na)$.

On développe : $(1+a)(1+na)=1+na+a+na^2=1+(n+1)a+na^2$. Puisque $na^2\ge 0$, on a $1+(n+1)a+na^2\ge 1+(n+1)a$.

Donc $(1+a)^{n+1}\ge 1+(n+1)a$ : la propriété est héréditaire. Conclusion : l'inégalité est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Question 2. On applique le résultat avec $a=0{,}02\ge 0$ : $1{,}02^n\ge 1+0{,}02\,n$.

Question 3. Il suffit que $1+0{,}02\,n\ge 1000$, soit $0{,}02\,n\ge 999$, soit $n\ge \dfrac{999}{0{,}02}=49\,950$. Donc $N=49\,950$ convient : pour $n\ge 49\,950$, $1{,}02^n\ge 1000$.

Remarque. Cette valeur est très large (la vraie valeur est bien plus petite), mais la méthode prouve que $1{,}02^n$ dépasse n'importe quel seuil : c'est le principe qui mène à la limite de $q^n$ pour $q>1$. Le programme cite d'ailleurs l'inégalité de Bernoulli, démontrée par récurrence, pour établir cette limite ¹.

Premiers termes. $u_1=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12$, $u_2=\dfrac{1/2}{1+1/2}=\dfrac{1/2}{3/2}=\dfrac13$, $u_3=\dfrac{1/3}{4/3}=\dfrac14$.

Conjecture. On observe $u_0=\dfrac11$, $u_1=\dfrac12$, $u_2=\dfrac13$, $u_3=\dfrac14$ : on conjecture $u_n=\dfrac{1}{n+1}$. Ce n'est qu'une conjecture : calculer quelques termes ne démontre rien ⁴.

Initialisation. $u_0=1=\dfrac1{0+1}$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ fixé tel que $u_n=\dfrac1{n+1}$. Alors $u_{n+1}=\dfrac{\frac1{n+1}}{1+\frac1{n+1}}=\dfrac{\frac1{n+1}}{\frac{n+2}{n+1}}=\dfrac1{n+1}\times\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac1{n+2}$.

On reconnaît $\dfrac{1}{(n+1)+1}$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=\dfrac1{n+1}$.

Application. $u_{99}=\dfrac1{100}=0{,}01$.

Premiers termes. $u_2=3\times 3-2\times 1=7$ et $u_3=3\times 7-2\times 3=15$. Cela correspond à $2^3-1=7$ et $2^4-1=15$.

Pourquoi une récurrence à deux rangs. Pour calculer $u_{n+2}$, il faut connaître $u_{n+1}$ et $u_n$. Une hypothèse sur le seul rang $n$ ne suffit pas. Il existe en effet d'autres formes de récurrence que la récurrence simple ⁴. On choisit ici une propriété qui contient deux rangs à la fois.

Propriété. $P(n)$ : « $u_n=2^{n+1}-1$ et $u_{n+1}=2^{n+2}-1$ ».

Initialisation. $u_0=1=2^1-1$ et $u_1=3=2^2-1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ fixé tel que $P(n)$ soit vraie. Alors $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n=3\left(2^{n+2}-1\right)-2\left(2^{n+1}-1\right)=3\times 2^{n+2}-3-2^{n+2}+2=2\times 2^{n+2}-1=2^{n+3}-1$.

Ainsi $u_{n+1}=2^{n+2}-1$ (déjà connu) et $u_{n+2}=2^{(n+1)+2}-1$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(n)$ est vraie pour tout $n$, donc $u_n=2^{n+1}-1$ pour tout entier naturel $n$.

Application. $u_8=2^9-1=512-1=511$.