Raisonnement par récurrence : quiz de Terminale spé maths

Quiz

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1. Quel type de propriété le raisonnement par récurrence permet-il de démontrer ?

   Une propriété portant sur tous les entiers naturels (à partir d'un rang donné)Une propriété portant sur tous les nombres réelsUne propriété vraie pour un seul entier particulierUne propriété portant uniquement sur les nombres premiers
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2. Quelles sont les trois étapes d'une démonstration par récurrence, dans l'ordre ?

   Initialisation, hérédité, conclusionHérédité, initialisation, conclusionConjecture, vérification sur trois valeurs, conclusionHypothèse, calcul, vérification
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3. Dans l'analogie des dominos, à quelle étape correspond « le premier domino tombe » ?

   L'initialisationL'héréditéLa conclusionL'hypothèse de récurrence
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4. Dans l'étape d'hérédité, que fait-on exactement ?

   On suppose P(n) vraie pour un entier n fixé et on démontre que P(n+1) est vraieOn suppose P(n+1) vraie et on démontre que P(n) est vraieOn suppose P(n) vraie pour tous les entiers n et on conclut aussitôtOn vérifie P(n) pour n = 1, 2, 3 puis on généralise
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5. Une propriété est vraie pour $n = 0, 1, 2, \dots, 10$. On peut en conclure qu'elle est vraie pour tout entier naturel.

   VraiFaux
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6. Une propriété $P(n)$ est héréditaire (si $P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ l'est), mais $P(0)$ est fausse. Que peut-on conclure ?

   Rien : sans initialisation, on ne peut pas conclure que P(n) est vraieP(n) est vraie pour tout nP(n) est fausse pour tout nP(n) est vraie pour tout n pair
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7. Quelles affirmations sont correctes ?

   Plusieurs réponses possibles.

   L'initialisation et l'hérédité sont toutes deux nécessairesL'hérédité seule suffit à conclureL'initialisation seule suffit à conclureDans l'hérédité, on part de P(n) pour obtenir P(n+1)
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8. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. Calcule $u_3$.

   Ta réponse
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9. On démontre par récurrence que $2^n \geq n + 1$ pour tout $n \geq 0$. Dans l'hérédité, on écrit $2^{n+1} = 2 \times 2^n \geq 2(n+1)$. Quelle inégalité permet de conclure que $2^{n+1} \geq (n+1) + 1$ ?

   $2n + 2 \geq n + 2$, vraie car $n \geq 0$$2n + 2 \geq n + 2$, vraie car $n \leq 0$$2n + 2 \leq n + 2$, vraie car $n \geq 0$Aucune : l'hypothèse suffit directement
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10. Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 0$ et $v_{n+1} = v_n + 2n + 1$. On veut montrer que $v_n = n^2$. Dans l'hérédité, avec $v_n = n^2$, quelle expression obtient-on pour $v_{n+1}$ ?

    $n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$$n^2 + 2n = n(n+2)$$n^2 + 1$$(n+1)^2 + 2n + 1$
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11. Calcule $S(4) = 1 + 2 + 3 + 4$, valeur à comparer avec la formule $\dfrac{n(n+1)}{2}$ lors d'une démonstration par récurrence. Quelle est la valeur de $S(4)$ ?

    Ta réponse
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12. Une propriété n'est énoncée que pour $n \geq 1$. Où se place l'initialisation ?

    Au rang $n = 1$, premier rang de la propriétéAu rang $n = 0$, même si la propriété n'y est pas définieAu rang $n = 2$Il n'y a pas d'initialisation à faire
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13. Un énoncé d'exercice écrit toujours explicitement qu'il faut utiliser un raisonnement par récurrence.

    VraiFaux
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14. En Terminale, à quoi sert l'inégalité de Bernoulli, elle-même démontrée par récurrence ?

    À déterminer la limite de la suite $(q^n)$À résoudre des équations du second degréÀ calculer des intégralesÀ prouver qu'une suite est arithmétique
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15. Selon Wikipédia, quel mathématicien du XVIIe siècle a eu l'idée de prouver le passage du rang n au rang n + 1, ce qui correspond à l'hérédité du raisonnement par récurrence ?

    Jacques BernoulliJohn WallisPierre de FermatEuclide
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