Le modèle du gaz parfait : cours de Terminale spécialité

Un gaz comme l'air d'une salle de classe contient un nombre gigantesque de molécules qui bougent dans tous les sens. Il est impossible de suivre chacune d'elles. Les physiciens font donc ce qu'ils font souvent : ils construisent un modèle, c'est-à-dire une description simplifiée qui garde l'essentiel et laisse de côté le reste.

Le programme de Terminale place la démarche de modélisation au centre du chapitre et interroge la validité d'un modèle à travers celui du gaz parfait.¹ Tu dois donc savoir deux choses : ce que le modèle suppose, et jusqu'où on peut lui faire confiance.

Ce cours suit cette logique. On commence par distinguer l'échelle macroscopique et l'échelle microscopique, puis on énonce les hypothèses du modèle, on écrit l'équation d'état, on apprend à s'en servir sans erreur d'unités, et on termine par les limites.

Pour décrire un système thermodynamique, on peut se placer à deux échelles.

• L'échelle macroscopique : celle des instruments de mesure. On mesure la pression $P$, la température $T$, le volume $V$ occupé par le gaz, sa masse volumique, la quantité de matière $n$.
• L'échelle microscopique : celle des molécules. On s'intéresse à leurs positions, leurs vitesses, leurs chocs.

Le programme demande de relier qualitativement les grandeurs macroscopiques mesurées (masse volumique, température, pression) aux propriétés du système à l'échelle microscopique.¹ Autrement dit, tu dois savoir expliquer une mesure faite à l'échelle de la salle par ce qui se passe à l'échelle des molécules.

L'état d'équilibre thermodynamique d'un gaz parfait de $n$ moles est fixé par deux paramètres macroscopiques, choisis librement. Les autres se calculent à partir de ces deux-là grâce à l'équation d'état.² Par exemple, si tu connais $T$ et $V$ pour une quantité de matière donnée, la pression est imposée : tu ne peux pas la choisir librement.

La théorie cinétique des gaz s'appuie sur un modèle de gaz dont les particules (atomes ou molécules) sont réduites à des points matériels. Elles n'ont entre elles d'autre relation que des chocs parfaitement élastiques.³ « Parfaitement élastiques » signifie que les chocs ne font pas perdre d'énergie cinétique au gaz.

Chaque particule possède une énergie cinétique, qui dépend du carré de sa vitesse, et les particules peuvent s'échanger de l'énergie par les chocs sans qu'il y ait de perte.² Plus les molécules sont agitées, plus leur énergie cinétique est grande.

L'adjectif « universelle » compte : la même constante $R$ sert pour tous les gaz parfaits, quelle que soit leur nature.³ Dans les exercices, sa valeur te sera donnée ; on prendra $R = 8{,}31\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}$.

Cette loi résume plusieurs lois des gaz établies auparavant, chacune étudiant ce qui se passe quand une des variables d'état (volume, pression, température) reste constante.³ Les autres lois deviennent alors des conséquences de la loi des gaz parfaits.³

La plupart des erreurs, avec $PV = nRT$, viennent des unités. La température est la plus piégeuse : dans la loi, $T$ est la température absolue, en kelvins, jamais en degrés Celsius.

Historiquement, c'est en 1864 que Clausius écrit la loi avec la température absolue $T$ ; les formes plus anciennes utilisaient la température $t$ en degrés Celsius, à laquelle on ajoutait une valeur expérimentale (267, puis 273).³ On retient donc la conversion suivante, avec l'arrondi usuel :

$T\ (\text{K}) = \theta\ (^\circ\text{C}) + 273$

De nos jours, on obtient la loi des gaz parfaits en partant de la théorie cinétique, qui représente le gaz par des particules ponctuelles se heurtant sans autre lien.³ L'ordre historique était inverse : la loi est d'abord sortie de l'expérience, puis le modèle microscopique est venu l'expliquer. En 1856 et 1857, August Krönig et Clausius y parviennent par la théorie cinétique.³

Ce lien entre échelles est exactement ce que demande le programme : les grandeurs mesurées sont l'expression collective de très nombreuses molécules en mouvement.¹

Le programme demande d'identifier quelques limites du modèle du gaz parfait.¹ Il faut donc savoir dire dans quelles conditions on peut l'utiliser et quand il échoue.

Plus la pression est basse, mieux le modèle convient : à basse pression, n'importe quel gaz se comporte comme un gaz parfait. Quand la pression monte, deux effets cessent d'être négligeables : la taille propre des molécules et les interactions à courte portée, comme celles de van der Waals.² Dans le même esprit, les lois des gaz ne valent que pour des pressions modérées, inférieures à 10 atm environ.³

Les premières lois sur les gaz s'étalent sur environ un siècle, du milieu du XVIIe siècle jusqu'au milieu du XVIIIe. Des savants y observent que certains liens entre pression, volume et température se vérifient, quelle que soit la nature du gaz.³

C'est Émile Clapeyron qui, en 1834, établit la loi des gaz parfaits en combinant plusieurs lois antérieures.³ Les écritures évoluent ensuite : Clausius réécrit la loi en 1850 avec 273 + t, puis, en 1864, l'écrit avec la température absolue $T$.³ L'idée à retenir est que la loi résume en une seule relation tout un ensemble de résultats expérimentaux.