Modèle du gaz parfait : exercices corrigés de Terminale

On écrit la loi des gaz parfaits : $PV = nRT$.

On isole la grandeur cherchée : $n = \dfrac{PV}{RT}$.

On convertit le volume : $V = 2{,}0\ \text{L} = 2{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3$.

On remplace : $n = \dfrac{1{,}0\times10^{5}\times 2{,}0\times10^{-3}}{8{,}314\times 300}$.

On calcule : $n = \dfrac{200}{2494{,}2} \approx 8{,}0\times10^{-2}\ \text{mol}$.

On convertit la température : $T = 20 + 273 = 293\ \text{K}$.

On convertit le volume : $V = 10\ \text{L} = 10\times10^{-3}\ \text{m}^3 = 1{,}0\times10^{-2}\ \text{m}^3$.

On isole la pression dans $PV = nRT$ : $P = \dfrac{nRT}{V}$.

On remplace : $P = \dfrac{0{,}50\times 8{,}314\times 293}{1{,}0\times10^{-2}}$.

On calcule : $P \approx 1{,}2\times10^{5}\ \text{Pa}$, soit environ 121 800 Pa.

On convertit les températures : $T_1 = 20 + 273 = 293\ \text{K}$ et $T_2 = 80 + 273 = 353\ \text{K}$.

On écrit la loi pour chaque état : $P_1V = nRT_1$ et $P_2V = nRT_2$.

On divise membre à membre : $\dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{T_2}{T_1}$, car $V$, $n$ et $R$ se simplifient.

On isole : $P_2 = P_1\times\dfrac{T_2}{T_1}$.

On calcule : $P_2 = 1{,}00\times10^{5}\times\dfrac{353}{293} \approx 1{,}20\times10^{5}\ \text{Pa}$.

On calcule la quantité de matière : $n = \dfrac{m}{M} = \dfrac{6{,}4}{32} = 0{,}20\ \text{mol}$.

On convertit la température : $T = 0 + 273 = 273\ \text{K}$.

On isole le volume dans $PV = nRT$ : $V = \dfrac{nRT}{P}$.

On remplace : $V = \dfrac{0{,}20\times 8{,}314\times 273}{1{,}0\times10^{5}} \approx 4{,}5\times10^{-3}\ \text{m}^3$.

On convertit : $4{,}5\times10^{-3}\ \text{m}^3 = 4{,}5\ \text{L}$ (plus précisément 4,54 L).

Pas de fuite : $n$ est constante. Température constante : $T$ aussi. Donc $nRT$ est identique dans les deux états.

On écrit $P_1V_1 = nRT$ et $P_2V_2 = nRT$, d'où $P_1V_1 = P_2V_2$.

On isole : $P_2 = P_1\times\dfrac{V_1}{V_2}$.

On calcule : $P_2 = 1{,}0\times10^{5}\times\dfrac{6{,}0}{2{,}0} = 3{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}$.

On convertit : $T = 20 + 273 = 293\ \text{K}$ et $V = 2{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3$.

Avant : $n_1 = \dfrac{P_1V}{RT}$. Après : $n_2 = \dfrac{P_2V}{RT}$.

La quantité ajoutée est $\Delta n = n_2 - n_1 = \dfrac{(P_2 - P_1)V}{RT}$.

On remplace : $\Delta n = \dfrac{(5{,}0\times10^{5} - 1{,}0\times10^{5})\times 2{,}0\times10^{-3}}{8{,}314\times 293}$.

On calcule : $\Delta n = \dfrac{800}{2436} \approx 0{,}33\ \text{mol}$.

On convertit le volume : $V = 1{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3$.

On calcule la quantité de matière : $n = \dfrac{PV}{RT} = \dfrac{1{,}0\times10^{5}\times1{,}0\times10^{-3}}{8{,}314\times300} \approx 4{,}0\times10^{-2}\ \text{mol}$.

On passe au nombre de molécules : $N = n\times N_A = 4{,}0\times10^{-2}\times 6{,}02\times10^{23}$.

On calcule : $N \approx 2{,}4\times10^{22}$ molécules, soit environ 2,41 en unités de $10^{22}$.

On part de $PV = nRT$ et on remplace $n = \dfrac{m}{M}$ : $PV = \dfrac{m}{M}RT$.

On isole $\dfrac{m}{V}$ : $\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{PM}{RT}$.

On convertit : $T = 20 + 273 = 293\ \text{K}$ et $M = 0{,}029\ \text{kg·mol}^{-1}$.

On remplace : $\rho = \dfrac{1{,}0\times10^{5}\times 0{,}029}{8{,}314\times 293}$.

On calcule : $\rho = \dfrac{2900}{2436} \approx 1{,}2\ \text{kg·m}^{-3}$.

Première hypothèse : en dehors des chocs, les molécules n'interagissent pas entre elles. Seconde hypothèse : leur taille est négligeable devant la distance moyenne qui les sépare ².

Quand la pression augmente, le gaz est comprimé : les molécules se rapprochent, la distance moyenne diminue, et leur taille propre n'est plus négligeable devant elle.

À petite distance, les interactions, notamment celles de type van der Waals, ne peuvent plus être ignorées ².

Les hypothèses n'étant plus respectées, l'équation d'état du gaz parfait cesse de décrire correctement le gaz réel.

On corrige donc l'affirmation : tous les gaz peuvent être modélisés par un gaz parfait à basse pression ², mais pas dans toutes les conditions. Les lois des gaz ne sont applicables qu'à des pressions modérées ³.