Décroissance radioactive : cours de Terminale spécialité

Certains noyaux d'atomes ne sont pas stables : au bout d'un temps imprévisible, ils se transforment en un autre noyau. Quand on observe non pas un noyau, mais un échantillon qui en contient des milliards de milliards, un comportement très régulier apparaît : le nombre de noyaux instables diminue au fil du temps, vite au début, puis de plus en plus lentement. C'est ce que l'on appelle la décroissance radioactive.

Ce chapitre répond à trois questions que le programme de Terminale place au centre de l'étude de l'évolution temporelle d'une population de noyaux radioactifs : quelle équation décrit cette évolution, quelles grandeurs la caractérisent (constante radioactive, demi-vie, activité) et comment exploiter une loi ou une courbe de décroissance pour répondre à un problème chiffré ¹.

Tu vas retrouver ici des outils vus en mathématiques : une équation différentielle linéaire du premier ordre, la fonction exponentielle et le logarithme népérien. Le programme demande d'ailleurs de savoir résoudre ce type d'équation différentielle comme capacité mathématique associée à ce chapitre ¹. Si l'exponentielle te paraît lointaine, on la réutilise pas à pas : l'objectif est que tu comprennes d'où vient la formule, pas seulement que tu l'appliques.

Il faut distinguer deux échelles.

• L'échelle d'un noyau. On ne peut pas prévoir quand un noyau donné va se désintégrer. On peut seulement parler de probabilité : le phénomène est aléatoire ³.
• L'échelle de l'échantillon. Avec un très grand nombre de noyaux, les fluctuations individuelles se compensent et la diminution globale suit une loi mathématique précise.

Une bonne image est celle des pièces de monnaie : si tu lances une seule pièce, tu ne sais pas si elle tombera sur pile ; si tu en lances un million, tu sais qu'il y aura très près de la moitié de pile. Les ressources pédagogiques de l'Éducation nationale utilisent d'ailleurs cette analogie : la probabilité de tomber sur pile joue le rôle de la probabilité qu'un noyau se désintègre ¹.

Notons $N(t)$ le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon à l'instant $t$, et $N_0 = N(0)$ le nombre à l'instant initial. Il s'agit de trouver la fonction $N$ qui traduit les deux faits expérimentaux précédents.

Cette loi dit que la proportion de noyaux restants, $\frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t}$, ne dépend que de $\lambda t$. Elle vaut 1 à $t = 0$, elle décroît de façon continue, reste strictement positive et tend vers 0 quand $t$ devient grand. Mathématiquement, il reste donc toujours des noyaux ; physiquement, quand leur nombre devient de l'ordre de quelques unités, la loi (qui décrit un très grand nombre de noyaux) n'a plus de sens, et la décroissance s'achève quand tous les noyaux sont devenus stables ².

Cette proportionnalité entre $A$ et $N$ a une conséquence très utile : tout ce qui a été dit sur la demi-vie de $N$ vaut aussi pour $A$. L'activité d'un isotope radioactif est divisée par deux pendant une demi-vie, et il n'en reste que 25 % au bout de deux demi-vies ³. Dans un exercice, on peut donc raisonner indifféremment sur le nombre de noyaux ou sur l'activité, à condition de ne pas mélanger les deux dans un même rapport.

L'activité est la grandeur que l'on mesure en pratique avec un détecteur : on compte les désintégrations par seconde, puis on en déduit $N$ si l'on connaît $\lambda$. C'est aussi la grandeur qui compte pour la radioprotection et la gestion des déchets nucléaires, domaines où la décroissance est un paramètre très important ².

La loi $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ décrit un isotope qui ne fait que disparaître. Dans la réalité, d'autres situations existent, et il est utile de savoir que la loi simple a ses limites, même si l'étude détaillée de ces cas dépasse le programme de Terminale.

• Plusieurs modes de désintégration. Si un même isotope peut se désintégrer de plusieurs façons, la loi exponentielle reste valable : les constantes correspondantes s'additionnent, $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + \dots$, et la demi-vie reste $\frac{\ln 2}{\lambda}$ ³.
• Isotope produit en même temps qu'il se désintègre. C'est le cas du carbone 14, créé dans la haute atmosphère par les rayons cosmiques. L'équation contient alors un terme de création en plus du terme de décroissance, et la loi exponentielle simple ne s'applique plus ³.
• Descendants radioactifs. Le noyau produit par une désintégration est parfois lui-même radioactif ; sa radioactivité s'ajoute alors progressivement à celle du noyau initial ². Pour un mélange de nombreux isotopes de périodes différentes, la courbe de décroissance s'écarte nettement d'une exponentielle décroissante, et la notion de demi-vie ne convient plus pour décrire une source usuelle comme les déchets radioactifs ³.