Physique-chimie (spécialité) · TerminaleBac

Décroissance radioactive : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La décroissance radioactive réduit le nombre de noyaux d'un isotope instable au cours du temps ².
La demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux a disparu ; elle ne dépend pratiquement que de l'isotope ³.
Après deux demi-vies, il reste 25 % de l'activité initiale, pas zéro ³.
Constante radioactive et demi-vie sont liées par $T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ ³.
Pour réussir : repérer ce qui est donné (T ou λ), choisir la forme de la loi, calculer, puis vérifier l'ordre de grandeur.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices suivent la progression du chapitre : d'abord les calculs directs avec la demi-vie, puis la loi exponentielle, enfin des situations qui demandent de raisonner. Cherche chaque énoncé seul, sur papier, avant d'ouvrir les indices. Le but est de rendre automatiques les gestes que tu devras faire au bac, sans réfléchir à la mécanique du calcul.

Rappel du cadre. On parle de décroissance radioactive lorsque, dans un échantillon, les noyaux d'un isotope instable se désintègrent et que leur nombre diminue ². La demi-vie (ou période) est le temps qu'il faut pour que la moitié des noyaux présents au départ aient disparu ³. Pour un noyau pris isolément, c'est une propriété probabiliste : au bout d'une demi-vie, il a une chance sur deux de s'être désintégré ³. Elle ne dépend pratiquement pas de la température, de la pression ou des champs, mais seulement de l'isotope ³.

Les exercices

Exercice 1 De la demi-vie à la constante radioactive

★☆☆Environ 5 min

Un isotope fictif X a une demi-vie $T = 8{,}0$ jours. Calcule sa constante radioactive $\lambda$ en $\text{j}^{-1}$ .

Indice 1

Cherche la relation qui relie $T$ et $\lambda$ .

Indice 2

Le logarithme est népérien ( $\ln$ ), pas décimal.

Voir la correction pas à pas

On utilise la relation entre la demi-vie et la constante radioactive : $T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ ³.
On isole $\lambda$ : $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T}$ .
Application numérique : $\lambda = \dfrac{0{,}693}{8{,}0} \approx 0{,}0866\ \text{j}^{-1}$ .

La constante radioactive vaut environ $0{,}0866\ \text{j}^{-1}$ . Elle a pour dimension l'inverse d'un temps : si tu obtiens une valeur sans unité de temps, c'est qu'il manque quelque chose.

Exercice 2 Que reste-t-il après deux demi-vies ?

★☆☆Environ 4 min

Un élève affirme : « Au bout de deux demi-vies, l'échantillon n'est plus radioactif ». Calcule le pourcentage de l'activité initiale qui subsiste après $2T$ et corrige cette affirmation.

Indice 1

Chaque demi-vie divise l'activité par 2.

Indice 2

Applique deux fois la division.

Voir la correction pas à pas

En une demi-vie, l'activité est réduite de moitié ³.
Après une première demi-vie : $\dfrac{1}{2}$ de l'activité initiale.
Après une seconde : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ , soit 25 %.

Il reste 25 % de l'activité initiale, ce qui contredit l'élève ³. L'activité tend vers 0 sans jamais l'atteindre en un nombre fini de demi-vies : la décroissance est asymptotique.

Exercice 3 Nombre de noyaux après trois demi-vies

★☆☆Environ 5 min

Un échantillon contient $N_0 = 4{,}0 \times 10^6$ noyaux d'un isotope radioactif. Combien en reste-t-il au bout de $t = 3T$ ?

Indice 1

Écris la suite des divisions par 2.

Indice 2

Trois demi-vies donnent un facteur $2^3$ .

Voir la correction pas à pas

À chaque demi-vie, la moitié des noyaux présents se désintègre ³.
Après $T$ : $2{,}0\times10^6$ ; après $2T$ : $1{,}0\times10^6$ ; après $3T$ : $5{,}0\times10^5$ .
Formule générale : $N = \dfrac{N_0}{2^3} = \dfrac{4{,}0\times10^6}{8} = 5{,}0\times10^5$ .

Il reste $5{,}0 \times 10^5$ noyaux, soit $\dfrac{1}{8}$ de l'effectif de départ. Cette méthode par divisions successives ne marche que si la durée est un nombre entier de demi-vies.

Exercice 4 Lire une demi-vie dans un tableau de mesures

★★☆Environ 8 min

On suit un échantillon d'un isotope fictif Y. Le nombre de noyaux mesuré est :

$t$ (s)	0	30
$N$	1200	300

Détermine la demi-vie de Y.
Calcule sa constante radioactive $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ .

Indice 1

Compare $N(30)$ à $N(0)$ : par quel facteur a-t-on divisé ?

Indice 2

Un facteur 4 correspond à deux demi-vies.

Voir la correction pas à pas

Le rapport $\dfrac{N(0)}{N(30)} = \dfrac{1200}{300} = 4 = 2^2$ .
Deux demi-vies se sont donc écoulées en 30 s : $2T = 30$ s, d'où $T = 15$ s.
On en déduit $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T} = \dfrac{0{,}693}{15} \approx 0{,}0462\ \text{s}^{-1}$ ³.

La demi-vie est de 15 s et $\lambda \approx 0{,}0462\ \text{s}^{-1}$ . Sur une courbe, on procède de la même façon : on lit $N_0$ , on repère l'abscisse où $N = N_0/2$ , et cette abscisse est $T$ .

Exercice 5 Activité après une durée non entière

★★☆Environ 8 min

Une source a une activité initiale $A_0 = 8{,}0 \times 10^5$ Bq et une demi-vie $T = 6{,}0$ h. Calcule son activité au bout de $15$ h.

Indice 1

Combien de demi-vies représentent 15 h ?

Indice 2

Le nombre de demi-vies peut être décimal : $A = A_0 \times \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}$ .

Voir la correction pas à pas

L'activité décroît de moitié à chaque durée $T$ ³.
Nombre de demi-vies écoulées : $\dfrac{t}{T} = \dfrac{15}{6{,}0} = 2{,}5$ .
On calcule $A = A_0 \times 2^{-2{,}5} = 8{,}0\times10^5 \times 0{,}1768 \approx 1{,}41\times10^5$ Bq.

L'activité est d'environ $1{,}41 \times 10^5$ Bq. Vérification : elle est comprise entre l'activité après 2 demi-vies ( $2{,}0\times10^5$ Bq) et après 3 demi-vies ( $1{,}0\times10^5$ Bq), ce qui est cohérent.

Exercice 6 Durée pour atteindre un pourcentage donné

★★☆Environ 10 min

Un isotope a une demi-vie $T = 5{,}0$ h. Au bout de quelle durée ne reste-t-il que $20\,\%$ des noyaux initiaux ?

Indice 1

Écris $N(t) = 0{,}20\,N_0$ avec $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ .

Indice 2

Prends le logarithme népérien des deux membres.

Voir la correction pas à pas

On calcule $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T}$ ³, soit $\lambda \approx 0{,}1386\ \text{h}^{-1}$ .
La condition est $e^{-\lambda t} = 0{,}20$ , donc $-\lambda t = \ln 0{,}20 = -\ln 5$ .
D'où $t = \dfrac{\ln 5}{\lambda} = \dfrac{T\,\ln 5}{\ln 2} = 5{,}0 \times \dfrac{1{,}609}{0{,}693} \approx 11{,}6$ h.

Il faut environ $11{,}6$ h. Contrôle : 11,6 h valent un peu plus de 2 demi-vies (10 h), où il reste 25 % ; il est normal d'être un peu en dessous de 25 %.

Exercice 7 Population restante avec la loi exponentielle

★★☆Environ 8 min

Un échantillon contient $N_0 = 1{,}0 \times 10^9$ noyaux d'un isotope de constante radioactive $\lambda = 2{,}0 \times 10^{-3}\ \text{s}^{-1}$ . Calcule le nombre de noyaux restants à $t = 600$ s.

Indice 1

La loi de décroissance est exponentielle ³.

Indice 2

Calcule d'abord le produit $\lambda t$ , qui doit être sans unité.

Voir la correction pas à pas

On écrit la loi : $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ .
Produit sans unité : $\lambda t = 2{,}0\times10^{-3} \times 600 = 1{,}2$ .
$N(600) = 1{,}0\times10^9 \times e^{-1{,}2} \approx 1{,}0\times10^9 \times 0{,}301 \approx 3{,}0\times10^8$ noyaux.

Il reste environ $3{,}0 \times 10^8$ noyaux, soit 30 % de l'effectif initial. On peut vérifier avec la demi-vie : $T = \dfrac{\ln 2}{\lambda} \approx 347$ s, donc 600 s font environ 1,7 demi-vie, et $2^{-1{,}7} \approx 0{,}31$ .

Exercice 8 Un isotope à deux modes de désintégration

★★★Environ 10 min

Un isotope se désintègre selon deux modes indépendants, de constantes $\lambda_1 = 0{,}030\ \text{j}^{-1}$ et $\lambda_2 = 0{,}020\ \text{j}^{-1}$ . Calcule sa demi-vie.

Indice 1

Que devient la constante radioactive quand il y a plusieurs modes ?

Indice 2

Les constantes s'ajoutent.

Voir la correction pas à pas

Quand un isotope possède plusieurs modes de désintégration, la loi exponentielle reste valable et les constantes s'ajoutent : $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$ ³.
Application : $\lambda = 0{,}030 + 0{,}020 = 0{,}050\ \text{j}^{-1}$ .
La période reste donnée par $T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ ³ : $T = \dfrac{0{,}693}{0{,}050} \approx 13{,}9$ j.

La demi-vie est d'environ $13{,}9$ jours. Elle est plus courte que celle de chaque mode pris seul ( $23$ j et $35$ j environ) : ajouter un mode de désintégration accélère la disparition des noyaux. L'erreur serait d'additionner les demi-vies.

Exercice 9 Vérifier que la loi exponentielle convient

★★★Environ 15 min

On admet que, pour un isotope qui ne fait que se désintégrer, le nombre de noyaux vérifie l'équation différentielle $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$ avec $N(0) = N_0$ (la probabilité de désintégration d'un noyau ne dépend pas de son passé ³).

Montre que $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ est solution.
Retrouve l'expression de la demi-vie $T$ en fonction de $\lambda$ .

Indice 1

Dérive $N_0\,e^{-\lambda t}$ par rapport à $t$ et compare avec $-\lambda N$ .

Indice 2

La demi-vie vérifie $N(T) = \dfrac{N_0}{2}$ .

Voir la correction pas à pas

On dérive : $\dfrac{dN}{dt} = N_0 \times (-\lambda)\,e^{-\lambda t} = -\lambda\,N(t)$ . L'équation est vérifiée.
Condition initiale : $N(0) = N_0\,e^{0} = N_0$ . La fonction convient donc, et c'est la solution du problème posé.
Pour la demi-vie, on écrit $N_0\,e^{-\lambda T} = \dfrac{N_0}{2}$ , soit $e^{-\lambda T} = \dfrac{1}{2}$ .
On prend le logarithme népérien : $-\lambda T = -\ln 2$ , d'où $T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ , résultat identique à celui des sources ³.

La loi exponentielle résout bien l'équation différentielle linéaire du premier ordre, ce que le programme demande de savoir démontrer ¹. Remarque : $T$ ne dépend pas de $N_0$ , ce qui explique que la décroissance « se répète identique à elle-même » toutes les demi-vies ³.

Les questions qu'on se pose

Faut-il apprendre la formule de N(t) par cœur ou savoir la retrouver ?

Les deux. Le programme demande de démontrer la loi qui donne le nombre de noyaux en fonction du temps, puis de s'en servir ¹. Retiens $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ , et sache la justifier par l'équation différentielle $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$ , comme dans le dernier exercice.

Comment choisir entre la méthode des divisions par 2 et la loi exponentielle ?

Si la durée est un multiple entier de la demi-vie, compter les divisions par 2 est plus rapide et plus sûr. Dans les autres cas (durée quelconque, pourcentage imposé), utilise la loi exponentielle ou la forme $2^{-t/T}$ . Les deux donnent le même résultat, car la demi-vie se déduit de $\lambda$ par $T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ ³.

Pourquoi la température ou la pression ne changent-elles pas la demi-vie ?

Parce que la désintégration est un phénomène du noyau, lié à la probabilité propre à l'isotope. La demi-vie ne dépend pratiquement pas des conditions environnantes (température, pression, champs) mais seulement de l'isotope considéré ³. C'est aussi pour cela qu'on ne peut ni accélérer ni ralentir une source radioactive par des moyens ordinaires.

Sources

Ressources pédagogiques Éduscol - Décroissance radioactive et exponentielle, Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 6 novembre 2026.
Décroissance radioactive, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Période radioactive, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Comment utiliser ces exercices

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Exercice 1 De la demi-vie à la constante radioactive

Exercice 2 Que reste-t-il après deux demi-vies ?

Exercice 3 Nombre de noyaux après trois demi-vies

Exercice 4 Lire une demi-vie dans un tableau de mesures

Exercice 5 Activité après une durée non entière

Exercice 6 Durée pour atteindre un pourcentage donné

Exercice 7 Population restante avec la loi exponentielle

Exercice 8 Un isotope à deux modes de désintégration

Exercice 9 Vérifier que la loi exponentielle convient

Les questions qu'on se pose

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