Poussée d'Archimède et relation de Bernoulli : cours de Terminale

Un bateau flotte, un ballon sonde monte, l'eau accélère quand elle sort d'un robinet à moitié fermé. Ces situations relèvent de la mécanique des fluides. Le programme de Terminale en retient deux grands volets : le fluide au repos, avec la poussée d'Archimède, et le fluide en écoulement, avec la conservation du débit volumique et la relation de Bernoulli ¹.

Tu as déjà travaillé sur la deuxième loi de Newton et sur le mouvement dans un champ de pesanteur uniforme. Ici, tu réutilises ces outils : la poussée d'Archimède est une force que tu ajoutes au bilan des forces, et la relation de Bernoulli traduit, pour un fluide, une idée d'énergie que tu connais déjà pour les solides.

Les capacités attendues du programme sont les suivantes : expliquer qualitativement l'origine de la poussée d'Archimède, exploiter la conservation du débit volumique pour déterminer une vitesse, exploiter la relation de Bernoulli (qui est fournie dans l'énoncé) et interpréter l'effet Venturi ¹. Tu n'as donc pas à apprendre la relation de Bernoulli par cœur, mais tu dois savoir quand et comment l'utiliser.

Plonge une balle dans l'eau et lâche-la : elle remonte. Pourtant son poids n'a pas changé. Une autre force s'exerce sur elle, exercée par le fluide lui-même : la poussée d'Archimède.

D'où vient cette force ? Dans un fluide au repos, la pression augmente avec la profondeur. La face inférieure d'un objet immergé subit donc une pression plus grande que sa face supérieure. Les forces de pression ne se compensent pas : leur résultante pointe vers le haut. C'est cette résultante que l'on appelle poussée d'Archimède. Cette explication qualitative est celle que le programme demande de savoir formuler ¹.

Un corps immergé subit son poids $\vec P$ (vers le bas) et la poussée $\vec \Pi$ (vers le haut). Le poids apparent du corps dans le fluide est la somme vectorielle de ces deux forces ⁶. En projetant sur un axe vertical orienté vers le bas, on obtient :

$P_{app}=P-\Pi=(\rho_c-\rho_f)\,V\,g$

où $\rho_c$ est la masse volumique du corps. C'est ce que tu lis sur un dynamomètre quand tu pèses un objet suspendu dans l'eau : la valeur indiquée est plus faible que dans l'air.

Corps flottant. Quand un objet flotte à l'équilibre, la deuxième loi de Newton (accélération nulle) impose $\Pi=P$. Seule une partie du volume, notée $V_{imm}$, est sous la surface, et la poussée vaut $\rho_f V_{imm}g$. On en déduit $\rho_f V_{imm}=\rho_c V$, soit une fraction immergée :

$\frac{V_{imm}}{V}=\frac{\rho_c}{\rho_f}$

Passons au fluide qui bouge. Dans une canalisation, l'eau traverse chaque section au cours du temps. Le débit volumique mesure le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps ¹.

Pourquoi ? Imagine l'eau comme une file continue de « tranches » : si une tranche entre dans une partie étroite, les tranches ne peuvent pas s'accumuler (l'écoulement est permanent et le fluide incompressible), donc elles doivent avancer plus vite pour que le même volume sorte chaque seconde. Un tuyau d'arrosage dont on pince l'extrémité en est l'illustration : le jet part plus vite.

La conservation du débit donne la vitesse, mais ne dit rien de la pression. Pour relier pression, vitesse et altitude, on utilise la relation de Bernoulli. Elle se formule pour un écoulement homogène, incompressible, permanent et parfait ².

Comment la lire ? Chaque terme est homogène à une pression : $p$ est la pression statique, $\frac12\rho v^2$ la pression liée au mouvement, $\rho g z$ la pression liée à l'altitude. En multipliant par un volume, tu retrouves des énergies : la relation exprime qu'aucune énergie n'est perdue le long de la ligne de courant (c'est la conséquence de l'absence de viscosité). Elle ressemble à une conservation de l'énergie mécanique pour un petit volume de fluide.

Le programme cite explicitement l'effet Venturi et demande de mettre en œuvre un dispositif expérimental pour étudier un écoulement permanent et tester la relation de Bernoulli ¹.

Au XVIIIe siècle, les académies royales cherchent à comprendre comment un fluide s'écoule ; en France, la construction du château de Versailles donne un élan à ces recherches ³. Daniel Bernoulli prolonge les travaux que son père Jean avait menés sur le mouvement des fluides ³.

Sa méthode, nouvelle pour l'époque, consiste à diviser le fluide en petites tranches perpendiculaires à la conduite ³. Il n'étudie que des écoulements stationnaires ³ : c'est l'origine de la condition « permanent » de la relation qui porte son nom. Plus tard, Euler établit les équations du mouvement d'un fluide en écoulement, en suivant l'évolution d'un petit volume de fluide ³. La relation de Bernoulli, telle que tu la manipules, peut être retrouvée à partir des équations d'Euler pour un écoulement incompressible de fluide parfait ⁶.