Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme : exercices de Tle

Bilan des forces : le poids seul. La deuxième loi de Newton donne $\vec a = \vec g$, soit $a_y = -g$.

Intégration avec $v_y(0) = 0$ : $v_y = -gt$.

Seconde intégration avec $y(0) = h$ : $y(t) = h - \tfrac12 g t^2$.

La pierre touche la mer quand $y = 0$ : $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$.

Application numérique : $t = \sqrt{\dfrac{2\times 20}{9{,}8}} \approx 2{,}02\ \text{s}$.

On a $v_y(t) = -gt$, donc la valeur de la vitesse est $v = gt$.

En remplaçant $t = \sqrt{2h/g}$, on obtient $v = \sqrt{2gh}$.

Application numérique : $v = \sqrt{2\times 9{,}8\times 20} \approx 19{,}8\ \text{m·s}^{-1}$.

Axe $Oy$ vers le haut, origine au point de lancement : $a_y = -g$, $v_y = -gt + v_0$, $y = -\tfrac12 g t^2 + v_0 t$.

Au sommet, $v_y = 0$ : $t_S = \dfrac{v_0}{g} = \dfrac{12}{9{,}8}\approx 1{,}22\ \text{s}$.

On reporte dans $y$ : $y_S = -\tfrac12 g t_S^2 + v_0 t_S = \dfrac{v_0^2}{2g}$.

Application numérique : $y_S = \dfrac{12^2}{2\times 9{,}8}\approx 7{,}35\ \text{m}$.

Repère : origine au sol à la verticale du lancement, $Ox$ horizontal, $Oy$ vers le haut. Conditions initiales : $x_0=0$, $y_0=5{,}0$, $v_{0x}=v_0$, $v_{0y}=0$.

Accélération : $a_x = 0$ et $a_y=-g$.

Équations horaires : $x(t)=v_0 t$ et $y(t)=5{,}0-\tfrac12 g t^2$.

Le sol est atteint quand $y=0$ : $t=\sqrt{\dfrac{2\times 5{,}0}{9{,}8}}\approx 1{,}01\ \text{s}$.

Distance : $x = v_0 t = 6{,}0\times 1{,}01\approx 6{,}06\ \text{m}$.

Conditions initiales : $x_0=y_0=0$, $v_{0x}=v_0$, $v_{0y}=0$. Accélération : $a_x=0$, $a_y=-g$.

Après intégration : $x(t)=v_0 t$ et $y(t)=-\tfrac12 g t^2$.

De la première équation, $t = \dfrac{x}{v_0}$.

On reporte : $y = -\dfrac{g}{2 v_0^2}\,x^2$.

C'est une fonction polynôme du second degré en $x$ sans terme en $x$ ni constante : la courbe est une parabole de sommet l'origine, tournée vers le bas.

Équations : $v_y=-gt+v_0\sin\alpha$ et $y=-\tfrac12 g t^2+v_0\sin\alpha\,t$.

Sommet : $v_y=0$ donc $t_S=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}$.

On reporte : $y_S=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$.

Application numérique : $y_S=\dfrac{10^2\times 0{,}5^2}{2\times 9{,}8}\approx 1{,}28\ \text{m}$.

$y(t)=t\left(-\tfrac12 g t+v_0\sin\alpha\right)=0$ admet deux solutions : $t=0$ (le lancement) et $t_P=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}$.

Portée : $x(t_P)=v_0\cos\alpha\times\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}=\dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$, avec $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha$.

Application numérique : $x_P=\dfrac{10^2\times\sin 60^\circ}{9{,}8}\approx 8{,}84\ \text{m}$.

On isole : $\sin 2\alpha=\dfrac{g\,x_P}{v_0^2}=\dfrac{9{,}8\times 8{,}0}{100}=0{,}784$.

Avec la fonction arc sinus : $2\alpha=\arcsin(0{,}784)\approx 51{,}6^\circ$, donc $\alpha\approx 25{,}8^\circ$.

L'autre solution est $2\alpha=180^\circ-51{,}6^\circ=128{,}4^\circ$, soit $\alpha\approx 64{,}2^\circ$ (tir en cloche).

On retient la plus petite valeur : $\alpha\approx 25{,}8^\circ$.