Mouvement dans un champ électrique uniforme : exercices de Tle

On convertit la distance : $d = 2{,}0$ cm $= 0{,}020$ m.

On applique la relation $E=\dfrac{U}{d}$ : $E=\dfrac{400}{0{,}020}=2{,}0\times10^{4}$ V/m, soit 20 000 V/m.

Le champ va de la plaque positive vers la plaque négative : ici, il est dirigé de la plaque supérieure vers la plaque inférieure.

Pour la force : $F=|q|E=3{,}0\times10^{-9}\times2{,}0\times10^{4}=6{,}0\times10^{-5}$ N. La charge étant positive, la force a le même sens que $\vec E$.

Force électrique : $F=eE=1{,}6\times10^{-19}\times5{,}0\times10^{4}=8{,}0\times10^{-15}$ N.

Poids : $P=mg=1{,}67\times10^{-27}\times9{,}8\approx1{,}6\times10^{-26}$ N.

Rapport : $\dfrac{F}{P}\approx\dfrac{8{,}0\times10^{-15}}{1{,}6\times10^{-26}}\approx5\times10^{11}$. Le poids est donc négligeable devant la force électrique.

On applique la deuxième loi de Newton avec la seule force électrique : $a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{eE}{m}$.

Application numérique : $a=\dfrac{8{,}0\times10^{-15}}{1{,}67\times10^{-27}}\approx4{,}79\times10^{12}$ m/s².

Le champ va de la plaque positive vers la plaque négative. L'électron étant négatif, la force $\vec F=-e\vec E$ est dirigée vers la plaque positive : l'électron est attiré vers elle.

Deuxième loi de Newton : $m\vec a=-e\vec E$. La valeur de l'accélération est $a=\dfrac{eE}{m}=\dfrac{eU}{md}$, constante et dirigée vers la plaque positive.

Le mouvement est rectiligne et uniformément accéléré, sans vitesse initiale. Après un parcours $d$, on a $v^2=2ad$.

On remplace : $v^2=2\times\dfrac{eU}{md}\times d=\dfrac{2eU}{m}$. La distance $d$ s'est simplifiée.

Application numérique : $v^2=\dfrac{2\times1{,}6\times10^{-19}\times200}{9{,}1\times10^{-31}}\approx7{,}03\times10^{13}$ m²/s².

On prend la racine : $v\approx8{,}39\times10^{6}$ m/s.

Force sur l'électron : dirigée vers la plaque positive, donc vers le bas, soit selon $+Oy$. L'accélération a pour coordonnées $a_x=0$ et $a_y=\dfrac{eU}{md}$.

Valeur : $a_y=\dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times100}{9{,}1\times10^{-31}\times0{,}020}\approx8{,}79\times10^{14}$ m/s².

Par intégration, avec $v_y(0)=0$ et $y(0)=0$ : $v_x=v_0$, $v_y=a_yt$, puis $x=v_0t$ et $y=\dfrac12a_yt^2$.

À la sortie, $x=L$ : $t_s=\dfrac{L}{v_0}=\dfrac{0{,}050}{2{,}0\times10^{7}}=2{,}5\times10^{-9}$ s.

Déviation : $y_s=\dfrac12\times8{,}79\times10^{14}\times(2{,}5\times10^{-9})^2\approx2{,}75\times10^{-3}$ m, soit environ 2,75 mm.

Comparaison : l'électron part du milieu, donc il peut dévier de $d/2=10$ mm au maximum. Comme $2{,}75$ mm $<10$ mm, il sort sans toucher la plaque.

Selon $Ox$, la vitesse reste constante : $v_x=v_0=2{,}0\times10^{7}$ m/s.

Selon $Oy$ : $v_y=a_yt_s=\dfrac{eU}{md}\times\dfrac{L}{v_0}$.

Application numérique : $v_y=8{,}79\times10^{14}\times2{,}5\times10^{-9}\approx2{,}20\times10^{6}$ m/s.

Vitesse totale : $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(2{,}0\times10^{7})^2+(2{,}20\times10^{6})^2}\approx2{,}01\times10^{7}$ m/s. La composante verticale change très peu la norme.

Angle : $\tan\alpha=\dfrac{v_y}{v_x}=\dfrac{2{,}20\times10^{6}}{2{,}0\times10^{7}}\approx0{,}110$.

On en déduit $\alpha=\arctan(0{,}110)\approx6{,}27^\circ$.

De $x=v_0t$ on tire $t=\dfrac{x}{v_0}$. On remplace dans $y=\dfrac12a_yt^2$ avec $a_y=\dfrac{eU}{md}$ : $y=\dfrac{eU}{2mdv_0^2}\,x^2$.

L'électron frôle la plaque quand sa déviation à la sortie vaut la moitié de l'écartement : $y(L)=\dfrac d2$.

Cela donne $\dfrac{eUL^2}{2mdv_0^2}=\dfrac d2$, donc $U_{\max}=\dfrac{m\,d^2\,v_0^2}{e\,L^2}$.

Application numérique : le numérateur vaut $9{,}1\times10^{-31}\times(2{,}0\times10^{-2})^2\times(2{,}0\times10^{7})^2=1{,}456\times10^{-19}$.

Le dénominateur vaut $1{,}6\times10^{-19}\times(5{,}0\times10^{-2})^2=4{,}0\times10^{-22}$.

Donc $U_{\max}=\dfrac{1{,}456\times10^{-19}}{4{,}0\times10^{-22}}=364$ V.

Pour $U>U_{\max}$, la déviation atteindrait $d/2$ avant la fin des plaques : l'électron percute la plaque positive à une abscisse $x<L$ et ne sort pas.