Dynamique du solide : exercices corrigés de Terminale SI

On isole le chariot, de masse $m = 1200\ \text{kg}$.

On projette le PFD sur l'axe du rail : $\sum F = m\,a$.

On isole l'accélération : $a = \dfrac{\sum F}{m}$.

Application numérique : $a = \dfrac{3000}{1200} = 2{,}5\ \text{m/s}^2$.

On isole le chariot et on oriente l'axe dans le sens de la traction.

Bilan des actions horizontales : traction $+200\ \text{N}$, frottement $-50\ \text{N}$. Le poids et la réaction normale sont verticaux et se compensent, ils n'interviennent pas.

PFD projeté : $200 - 50 = 50\,a$.

Donc $a = \dfrac{150}{50} = 3\ \text{m/s}^2$.

On isole le rotor, en rotation autour d'un axe fixe.

Le seul moment extérieur sur l'axe est le couple moteur : $C = J\,\alpha$.

On isole $\alpha = \dfrac{C}{J}$.

Application numérique : $\alpha = \dfrac{0{,}5}{0{,}02} = 25\ \text{rad/s}^2$.

Le couple et le moment d'inertie sont constants, donc $\alpha = \dfrac{C}{J} = 25\ \text{rad/s}^2$ est constante.

Le rotor part de l'arrêt : $\omega(t) = \alpha\,t$.

On isole le temps : $t = \dfrac{\omega}{\alpha}$.

Application numérique : $t = \dfrac{150}{25} = 6\ \text{s}$.

On isole le chariot et on oriente l'axe le long de la rampe, vers le haut.

Bilan : traction $F$ (positive), composante du poids $-\,m g \sin\theta$, réaction perpendiculaire à la rampe (sans effet sur cet axe).

PFD projeté : $F - m g \sin\theta = m\,a$, donc $F = m\,(a + g \sin\theta)$.

Calcul de la composante : $g \sin 10^\circ \approx 9{,}81 \times 0{,}1736 \approx 1{,}703\ \text{m/s}^2$.

Application numérique : $F = 500 \times (0{,}5 + 1{,}703) \approx 1101{,}7\ \text{N}$.

Charge : on isole la masse, axe vers le haut. PFD : $T - m g = m\,a$, donc $T = m\,(g + a) = 20 \times 10{,}81 = 216{,}2\ \text{N}$.

Tambour : on isole le tambour, en rotation autour de son axe fixe. Les moments extérieurs sont le couple moteur $C$ et le moment résistant de la tension du câble, $-\,T\,r$.

Sans glissement, $\alpha = \dfrac{a}{r} = \dfrac{1}{0{,}1} = 10\ \text{rad/s}^2$.

PFD en rotation : $C - T\,r = J\,\alpha$, donc $C = T\,r + J\,\alpha$.

Application numérique : $C = 216{,}2 \times 0{,}1 + 0{,}05 \times 10 = 21{,}62 + 0{,}5 = 22{,}12\ \text{N·m}$.

Quatre réglages sont à fixer dans une simulation : la durée, l'incrément temporel, les grandeurs à afficher et les échelles.¹ Ici la durée vaut $2\ \text{s}$ et l'incrément $0{,}01\ \text{s}$.

Nombre de pas : $\dfrac{2}{0{,}01} = 200$.

Vitesse finale attendue : $v = a\,t = 2{,}5 \times 2 = 5\ \text{m/s}$, en partant de l'arrêt.

Échelle : un axe de $0$ à $6\ \text{m/s}$ montre toute la courbe avec une petite marge, sans l'écraser dans un coin.