Principe fondamental de la dynamique : cours de Terminale SI

En statique, tu as appris à écrire que les actions mécaniques extérieures s'équilibrent lorsqu'un système ne bouge pas. Le programme de spécialité Sciences de l'ingénieur place ce principe de la statique juste à côté du principe fondamental de la dynamique, dans la même rubrique de modélisation mécanique ¹. Mais un système réel bouge : un bras de robot démarre, un ascenseur freine, un moteur monte en vitesse. Dès qu'il y a variation de vitesse, l'équilibre des actions n'est plus vrai, et il te faut une loi qui dise de combien le mouvement change.

Le principe fondamental de la dynamique, abrégé PFD, est cette loi. Il s'agit d'une loi de physique qui lie la masse d'un corps à l'accélération que lui communiquent les forces subies ². On l'appelle aussi deuxième loi de Newton, relation fondamentale de la dynamique ou RFD ².

Pour l'ingénieur, l'enjeu est très concret. Avant de choisir un moteur, un réducteur ou un frein, il faut savoir quel effort ou quel couple est nécessaire pour obtenir une accélération donnée, ou inversement quelle accélération on obtiendra avec un actionneur donné. Le PFD est l'outil qui répond à ces deux questions. Il sert aussi de point de départ à la suite du programme : sans lui, impossible d'écrire le modèle d'un système asservi, que tu étudieras ensuite.

Lis cette égalité comme une relation de cause à effet. Les forces extérieures sont la cause ; l'accélération du centre de gravité est l'effet ; la masse mesure la « résistance » du solide au changement de vitesse. Pour une même force, un solide deux fois plus massif subit une accélération deux fois plus faible. L'égalité est vectorielle : l'accélération a la même direction et le même sens que la résultante des forces.

Cette présentation en $m\vec a_G$ est la plus utilisée en lycée. Sous une forme plus générale, la loi s'écrit à l'aide de la quantité de mouvement $\vec p$ : $\sum_i \vec F_i = \dfrac{d\vec p}{dt}$ ; cette écriture reste valable dans le cadre de la relativité restreinte, à condition de modifier la définition de la quantité de mouvement ². Dans tout ce cours, les vitesses sont très inférieures à celle de la lumière et la forme $m\vec a_G$ suffit.

Le PFD ne s'applique pas dans n'importe quel repère. Il faut un référentiel galiléen, aussi appelé inertiel : dans un tel référentiel, la loi conserve sa forme habituelle, y compris dans le cadre de la relativité restreinte ². Pour la plupart des systèmes industriels, le sol de l'atelier ou le bâti de la machine constitue un référentiel galiléen très satisfaisant. Si tu choisis un repère lui-même accéléré (le plateau d'un camion qui freine, par exemple), de fausses forces apparaissent et le calcul se complique inutilement.

En mécanique du solide, on étudie aussi la rotation. Le principe fondamental de la dynamique comporte alors un « volet » consacré à la rotation, qui complète le volet de translation ². Le programme de spécialité se limite au cas d'un solide qui tourne autour d'un axe immobile, sur lequel se trouve son centre de gravité ¹. C'est le cas d'un très grand nombre d'éléments industriels : arbre moteur, volant, poulie, roue équilibrée, bras tournant sur son axe.

Il existe un parallèle direct entre les deux volets, très utile pour mémoriser :

Le moment d'inertie joue pour la rotation le rôle que la masse joue pour la translation : plus il est grand, plus le solide est « difficile » à mettre en rotation ou à arrêter. Il dépend non seulement de la masse, mais aussi de la répartition de cette masse par rapport à l'axe : une masse éloignée de l'axe augmente beaucoup $J$.

Dans un mécanisme, il est fréquent qu'un moteur en rotation entraîne une charge en translation (convoyeur, ascenseur, vis à billes, treuil). Il faut alors relier les deux volets du PFD par la cinématique : une relation entre la vitesse linéaire $v$ et la vitesse angulaire $\omega$. Pour un tambour de rayon $R$ qui enroule un câble sans glisser, $v=R\,\omega$ et donc $a=R\,\dot\omega$.