Diviseurs et multiples : cours de 3e

Partager 36 bonbons entre 4 enfants sans en couper un seul : ça marche. Les partager entre 5 enfants : il en reste un. Cette situation toute simple contient déjà l'idée centrale de ce chapitre. Certains nombres se « rangent » parfaitement dans d'autres, et d'autres non.

Les diviseurs et les multiples sont deux regards sur la même relation entre deux entiers. Ils servent à simplifier des fractions, à organiser des groupes, à trouver quand deux événements se reproduisent en même temps (deux bus qui passent à des rythmes différents, par exemple). Ils préparent aussi la suite du programme d'arithmétique : les nombres premiers, la décomposition en facteurs premiers et les fractions irréductibles.

Dans tout ce cours, sauf mention contraire, on travaille avec des entiers naturels : 0, 1, 2, 3… Les ressources officielles proposent d'ailleurs des jeux de cartes pour s'entraîner à reconnaître des multiples et des nombres ayant un diviseur commun ¹. C'est un bon moyen de réviser en s'amusant, une fois le cours lu.

Pour obtenir les multiples d'un nombre, on le multiplie successivement par 0, 1, 2, 3, etc. Les multiples de 8 sont donc 0, 8, 16, 24, 32, 40… Il y en a une infinité : on peut toujours multiplier par un entier plus grand.

Pour les diviseurs, c'est l'inverse : un entier positif non nul n'en a qu'un nombre fini, car un diviseur ne peut pas dépasser le nombre qu'il divise. Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, et aucun autre.

Pour savoir si $a$ divise $b$, le plus sûr est d'effectuer la division de $b$ par $a$. Dans une division, on parle de dividende (le nombre qu'on divise), de diviseur (le nombre par lequel on divise), de quotient et de reste. Une fois l'opération terminée, on retrouve le dividende ainsi : on multiplie le quotient par le diviseur, puis on ajoute le reste ².

Lister les diviseurs d'un nombre est une question qui revient très souvent. Le piège est d'en oublier. La méthode ci-dessous évite les oublis, parce qu'elle les range par paires.

Faire une division pour chaque test prend du temps. Heureusement, pour quelques diviseurs courants, on peut conclure rien qu'en regardant les chiffres. Ces règles s'appellent les critères de divisibilité.

Le nombre de diviseurs d'un entier raconte beaucoup de choses sur lui. Le nombre 36 en a 9, le nombre 50 en a 6, mais certains nombres en ont très peu.

Les nombres premiers sont les briques de l'arithmétique : un entier se décompose en un produit de facteurs premiers. Dans le cadre des entiers relatifs, on peut par exemple écrire −28 sous la forme $(-2) \times 2 \times 7$ ³. Pour les entiers naturels, on écrira simplement $28 = 2 \times 2 \times 7$. Cette décomposition fera l'objet du prochain chapitre, ainsi que les fractions irréductibles, où le PGCD jouera un rôle central.