Diviseurs et multiples : exercices corrigés de 3e

On teste les entiers de 1 à 6, car $6 \times 6 = 36$ : au-delà de 6, les diviseurs sont les partenaires de ceux trouvés avant.

1 divise 36 : $36 = 1 \times 36$, donc 1 et 36 sont des diviseurs.

2 divise 36 : $36 = 2 \times 18$, donc 2 et 18.

3 divise 36 : $36 = 3 \times 12$, donc 3 et 12.

4 divise 36 : $36 = 4 \times 9$, donc 4 et 9.

5 ne divise pas 36, car $5 \times 7 = 35$ et $5 \times 8 = 40$.

6 divise 36 : $36 = 6 \times 6$, donc 6 (un seul diviseur, car le partenaire est lui-même).

Liste complète : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. On compte 9 diviseurs.

On calcule $7 \times 14 = 98$ : c'est trop petit, car 98 est inférieur à 100.

Le multiple suivant est $7 \times 15 = 105$, premier multiple de 7 dans l'intervalle.

On ajoute 7 à chaque étape : 105, 112, 119, 126.

Le suivant serait $126 + 7 = 133$, qui dépasse 130 : on s'arrête.

On compte les multiples trouvés : 105, 112, 119 et 126.

On calcule $37 \times 30 = 1\,110$. Il reste $1\,234 - 1\,110 = 124$ à répartir.

$37 \times 3 = 111$ et $37 \times 4 = 148$ : 148 dépasse 124, donc on garde 3 de plus. Le quotient est $30 + 3 = 33$.

On vérifie : $37 \times 33 = 1\,221$.

Le reste est $1\,234 - 1\,221 = 13$, et $13 < 37$, ce qui est bien un reste admissible.

On écrit l'égalité : $1\,234 = 37 \times 33 + 13$. On retrouve bien le dividende en multipliant 33 par 37 puis en ajoutant 13 ².

Diviseurs de 84 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

Diviseurs de 126 : 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.

Diviseurs communs : on garde les nombres présents dans les deux listes, soit 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42.

Le plus grand est 42.

Pour 42 sachets : $84 \div 42 = 2$ chocolats au lait et $126 \div 42 = 3$ chocolats noirs par sachet.

Vérification : $42 \times 2 = 84$ et $42 \times 3 = 126$. Aucun chocolat ne reste.

Multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, 60…

Multiples de 18 : 18, 36, 54, 72…

Multiples communs : le premier nombre présent dans les deux listes est 36.

Les deux bus repartent donc ensemble 36 minutes après 8 h 00, soit à 8 h 36.

Vérification : $36 = 12 \times 3$ et $36 = 18 \times 2$.

1 n'a qu'un seul diviseur positif, lui-même : il n'en a pas deux, donc il n'est pas premier.

Les nombres pairs 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38 ont le diviseur 2 : ils ne sont pas premiers.

25 et 35 sont multiples de 5 : non premiers.

21 $= 3 \times 7$, 27 $= 3 \times 9$, 33 $= 3 \times 11$, 39 $= 3 \times 13$ : non premiers.

Restent 23, 29, 31 et 37. Aucun n'est divisible par 2, 3 ou 5, et $7 \times 7 = 49$ dépasse 37 : il n'y a plus de diviseur à chercher. Chacun n'a que 1 et lui-même pour diviseurs.

Il y a donc quatre nombres premiers : 23, 29, 31 et 37.

Exemple : $90 = 15 \times 6$ et $135 = 15 \times 9$. La somme vaut $225 = 15 \times 15$ : 15 divise bien 225.

Cas général : comme $a$ divise $b$, il existe un entier $k$ tel que $b = a \times k$.

Comme $a$ divise $c$, il existe un entier $m$ tel que $c = a \times m$.

On additionne : $b + c = a \times k + a \times m = a \times (k + m)$.

$k + m$ est un entier, donc $b + c$ est un multiple de $a$ : $a$ divise $b + c$.

Pour la différence : $b - c = a \times k - a \times m = a \times (k - m)$, et $k - m$ est un entier. Donc $a$ divise $b - c$.

Le côté $c$ (en cm) est un entier qui divise 120 et 84 : c'est un diviseur commun.

Diviseurs de 84 du plus grand au plus petit : 84, 42, 28, 21, 14, 12, 7, 6…

Test sur 120 : $120 \div 84$, $120 \div 42$, $120 \div 28$, $120 \div 21$ et $120 \div 14$ ne donnent pas d'entier.

$120 \div 12 = 10$ : 12 divise 120 et 12 divise 84. Le côté maximal est 12 cm.

Dans la longueur : $120 \div 12 = 10$ carreaux. Dans la largeur : $84 \div 12 = 7$ carreaux.

Nombre total : $10 \times 7 = 70$ carreaux.