Les nombres premiers : cours de 3e

Dans le chapitre précédent, tu as appris à chercher les diviseurs et les multiples d'un nombre. Tu as vu que certains nombres ont beaucoup de diviseurs : 12 en a six (1, 2, 3, 4, 6 et 12), 36 en a neuf. D'autres, au contraire, n'en ont presque pas : 7 ne se divise exactement que par 1 et par 7.

Ces nombres « pauvres en diviseurs » ont un rôle particulier. Ils fonctionnent comme les briques de base de tous les autres entiers : de même qu'un mur se construit avec des briques, un entier se construit en multipliant des nombres premiers entre eux. Le programme de 3e demande d'ailleurs de comprendre les notions de divisibilité et de nombres premiers, puis de décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers ².

Dans ce cours, tu vas :

• apprendre la définition exacte d'un nombre premier ;
• comprendre pourquoi 0 et 1 sont mis à part, et pourquoi 2 est un cas spécial ;
• maîtriser une méthode fiable pour savoir si un nombre est premier ;
• découvrir qu'il y en a une infinité, mais qu'ils se raréfient ;
• préparer le chapitre suivant, la décomposition en facteurs premiers.

Prenons quelques exemples pour que la définition devienne concrète.

Les plus petits nombres premiers sont donc 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Les nombres de cette liste inférieurs à 10 sont au nombre de quatre : 2, 3, 5 et 7 ⁵.

Trois nombres posent souvent problème. Reprenons la définition pour les traiter calmement.

Une remarque d'histoire, pour comprendre que ce choix n'est pas un caprice. Pendant une période assez courte, de la fin du XVII^e siècle au début du XX^e, certains mathématiciens ont considéré que 1 était premier, avec une définition légèrement différente. Au début du XX^e siècle, un accord s'est fait sur la définition que tu utilises, qui exclut 1, notamment pour que le grand théorème sur la décomposition s'énonce simplement ⁴. Nous y reviendrons à la fin du cours.

Pour des petits nombres, on peut écrire tous les diviseurs. Pour un nombre comme 97 ou 221, c'est long. Il existe une méthode plus rapide : on essaie de diviser par les nombres premiers, dans l'ordre, et on s'arrête dès qu'on peut.

Le programme évoque d'ailleurs ce travail de test de divisibilité par 2, 3 et 5 sur des nombres entiers compris entre 100 et 130 ³. Ce sont exactement les premiers essais de notre méthode.

Rappel des critères que tu connais déjà :

• un nombre est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
• il est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5 ;
• il est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

Pour 7, 11, 13 et les suivants, tu poses la division (ou tu utilises la calculatrice) et tu regardes si le reste est nul.

Cela signifie que, même si tu écris une liste très longue, il restera toujours un nombre premier plus grand que le dernier de ta liste. En revanche, ils deviennent de plus en plus rares quand on avance dans les nombres. Voici la proportion de nombres premiers parmi les entiers jusqu'à différentes limites ⁵ :

On lit par exemple : il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100, soit un nombre sur quatre ; il y en a 168 inférieurs à 1 000, soit 16,8 % ⁵. Plus la limite est grande, plus la proportion baisse. Pourtant la liste ne s'arrête jamais.

Pourquoi ces nombres sont-ils si importants ? Parce que n'importe quel entier composé peut se découper en nombres premiers.

Prenons 84. On peut écrire 84 = 4 × 21, puis 4 = 2 × 2 et 21 = 3 × 7. On obtient 84 = 2 × 2 × 3 × 7, un produit où tous les facteurs sont premiers. On l'écrit aussi $2^2 \times 3 \times 7$.

Essayons un autre chemin : 84 = 12 × 7, puis 12 = 3 × 4 = 3 × 2 × 2. On retombe sur les mêmes facteurs, dans un autre ordre.

C'est précisément le fait que 1 soit exclu des nombres premiers qui rend cet énoncé simple : si 1 était premier, on pourrait écrire 84 = 1 × 2 × 2 × 3 × 7, ou avec deux, trois, dix facteurs égaux à 1, et l'écriture ne serait plus unique ⁴.

En classe de 3e, tu apprendras à décomposer en produit de facteurs premiers à la main, avec un tableur ou avec un logiciel ². Savoir reconnaître les nombres premiers est donc la condition pour réussir ce chapitre : il te faut les connaître jusqu'à 30 environ et savoir tester les autres.

Les nombres premiers ne sont pas qu'un jeu de collège. Leur connaissance par des algorithmes sert dans de nombreuses applications industrielles de l'arithmétique ; certains systèmes de cryptographie et certaines méthodes de transmission de l'information reposent sur la difficulté de problèmes liés aux nombres premiers ⁴. Ce que tu apprends ici est donc la porte d'entrée vers des mathématiques très actuelles.