Nombres premiers : exercices corrigés de 3e

0 et 1 sont ni premiers ni composés : tout entier positif divise 0, et 1 n'a qu'un seul diviseur ⁴.

2 n'a que deux diviseurs, 1 et 2 : il est premier.

9 = 3 × 3, 21 = 3 × 7 et 33 = 3 × 11 : ces trois nombres sont composés.

13 n'est divisible ni par 2 ni par 3, et $4 \times 4 = 16 > 13$ : on s'arrête, 13 est premier.

29 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, et $6 \times 6 = 36 > 29$ : 29 est premier.

La liste contient trois nombres premiers : 2, 13 et 29.

On écrit les entiers de 2 à 30.

On garde 2 et on barre tous les autres multiples de 2.

On garde 3 et on barre ses autres multiples : 9, 15, 21, 27.

On garde 5 et on barre son autre multiple restant : 25.

Le prochain nombre non barré est 7 ; son carré, 49, dépasse 30 : il n'y a plus rien à barrer.

Il reste dix nombres. En partant du plus grand : 29, 23, 19, 17, 13, 11, puis 7, 5, 3 et 2.

Parmi les entiers de 1 à 30, 10 sont premiers, soit environ un tiers. Jusqu'à 100, on en compte 25, soit 25 % ⁵ : la proportion diminue.

Pour 91, il faut tester tous les nombres premiers dont le carré ne dépasse pas 91. Comme $9 \times 9 = 81 \le 91$ et $11 \times 11 = 121 > 91$, il faut aller jusqu'à 7.

Léa s'est arrêtée à 5 : elle a oublié de tester 7.

$91 \div 7 = 13$, donc $7 \times 13 = 91$ : la division tombe juste.

Le plus petit diviseur de 91 supérieur à 1 est donc 7.

On écrit $91 = 7 \times 13$, avec 7 et 13 premiers. 91 est composé.

On calcule $9^2 = 81$ et $10^2 = 100$ : on a $81 < 97 < 100$.

Si 97 avait un diviseur autre que 1 et lui-même, son plus petit facteur serait inférieur ou égal à 9. Sinon, le produit dépasserait 100.

Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 9 sont 2, 3, 5 et 7 : il y en a 4.

$97 \div 2 = 48{,}5$ ; $97 \div 3 \approx 32{,}33$ ; $97 \div 5 = 19{,}4$ ; $97 \div 7 \approx 13{,}86$ : aucune division ne tombe juste.

97 n'a donc que deux diviseurs, 1 et 97 : il est premier.

Comme $11 \times 11 = 121 > 120$, il suffit de tester 2, 3, 5 et 7 pour tous les nombres jusqu'à 120.

On élimine les pairs. Restent 101, 103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119.

105 et 115 sont multiples de 5 : éliminés.

111 = 3 × 37 et 117 = 3 × 39 : éliminés.

119 = 7 × 17 : éliminé.

Restent 101, 103, 107, 109 et 113 : aucune division par 2, 3, 5 ou 7 ne tombe juste (par exemple $101 = 7 \times 14 + 3$).

Il y a donc 5 nombres premiers entre 100 et 120.

Les pairs sont écartés. Parmi les impairs : 201 = 3 × 67, 203 = 7 × 29, 205 est multiple de 5, 207 = 3 × 69 et 209 = 11 × 19 sont composés.

On examine 211. Comme $14 \times 14 = 196 \le 211 < 225 = 15 \times 15$, on teste les nombres premiers jusqu'à 13 : 2, 3, 5, 7, 11, 13.

$211 = 2 \times 105 + 1$, $211 = 3 \times 70 + 1$, $211 = 5 \times 42 + 1$, $211 = 7 \times 30 + 1$, $211 = 11 \times 19 + 2$, $211 = 13 \times 16 + 3$ : aucun reste n'est nul.

211 est premier. C'est le plus petit nombre premier supérieur à 200.

Il y a seize nombres premiers jusqu'à 53. En partant du plus grand : 53, 47, 43, 41, 37, 31, 29, 23, 19, 17, 13, 11, puis 7, 5, 3 et 2.

On repère les écarts de 2 : (3 ; 5), (5 ; 7), (11 ; 13), (17 ; 19), (29 ; 31), (41 ; 43).

Les couples (47 ; 49) et (53 ; 55) ne conviennent pas : 49 = 7 × 7 et 55 = 5 × 11.

On compte 6 couples dont le plus petit élément est inférieur à 50.

Les nombres du milieu sont 6, 12, 18, 30 et 42 : ce sont des multiples de 6.

Explication : parmi trois entiers consécutifs, l'un est multiple de 3. Les deux jumeaux (autres que 3) sont premiers donc pas multiples de 3 : c'est le nombre du milieu qui l'est. Il est aussi pair, car il est entouré de deux impairs. Il est donc multiple de 2 et de 3, c'est-à-dire de 6.

On teste les nombres premiers dont le carré ne dépasse pas 143 : 2, 3, 5, 7, 11.

143 est impair : 2 ne convient pas. $143 = 3 \times 47 + 2$ : 3 ne convient pas. 143 ne se termine ni par 0 ni par 5 : 5 ne convient pas. $143 = 7 \times 20 + 3$ : 7 ne convient pas.

$143 \div 11 = 13$, donc $11 \times 13 = 143$ : la division tombe juste.

Ainsi $143 = 11 \times 13$, avec 11 et 13 premiers.

Vérification : $11 + 13 = 24$. Les deux nombres sont 11 et 13.

Le plus grand des deux est 13.