Sphère et boule : cours de géométrie dans l'espace en 3e

Un ballon, une bille, une bulle de savon, une orange : autour de toi, beaucoup d'objets ont une forme ronde dans toutes les directions. En mathématiques, deux mots décrivent cette forme, et on les confond très souvent : la sphère et la boule. Dans ce cours, tu apprends à les distinguer, à connaître leur vocabulaire et à calculer le volume d'une boule.

Le programme de 3e demande de connaître et d'utiliser la formule du volume d'une boule de rayon donné ¹. Il demande aussi de reconnaître un grand cercle sur une sphère et de se repérer sur une sphère avec la latitude et la longitude ². Ce cours pose les bases de tout cela : sans une bonne définition de la sphère, impossible de comprendre les sections et le repérage qui viennent ensuite.

Tu connais déjà d'autres solides : pavé droit, cube, prisme droit, pyramide, cylindre, cône. La boule vient compléter cette liste ³. Elle a une particularité : aucune face plane, aucune arête, aucun sommet. Sa définition repose uniquement sur une notion de distance.

Pour fixer les idées, note $O$ le centre et $r$ le rayon. Un point $M$ est sur la sphère de centre $O$ et de rayon $r$ exactement quand $OM = r$. Imagine une ficelle de longueur $r$ fixée en $O$ : son autre bout peut aller dans toutes les directions de l'espace, et il dessine la sphère.

Avec les notations précédentes : $M$ appartient à la boule de centre $O$ et de rayon $r$ exactement quand $OM \leqslant r$.

La boule contient donc deux sortes de points : ceux de la sphère ($OM = r$) et ceux de l'intérieur ($OM < r$). La sphère est la « coque », la boule est la coque avec tout ce qu'elle renferme.

Les définitions donnent un moyen simple de savoir où se trouve un point $M$ : il suffit de comparer la distance $OM$ au rayon $r$.

Si on coupe une boule avec un plan, on obtient un disque. Si on coupe une sphère avec un plan, on obtient un cercle. Le programme de 3e demande de reconnaître un grand cercle sur une sphère et de tracer des solides en perspective cavalière en faisant apparaître des sections ². Les sections de solides font l'objet d'un autre cours ; voici ce qu'il faut déjà comprendre.

Le volume mesure la place occupée par le solide. Pour une boule, il ne dépend que d'un seul nombre : le rayon. La formule du volume d'une boule de rayon donné fait partie des connaissances à maîtriser en 3e ¹.

La sphère a une propriété remarquable : à volume renfermé égal, aucune autre surface n'a une aire aussi petite ⁴. C'est pour cette raison qu'on la rencontre dans la nature : les bulles et les gouttes d'eau, en l'absence de gravité, prennent la forme d'une sphère, parce que la tension superficielle cherche à réduire l'aire de leur surface ⁴.

La notion se prolonge au lycée et au-delà. En mathématiques, on généralise la boule à des espaces de dimension quelconque ⁵. Selon la façon de mesurer les distances, la forme d'une boule peut changer : avec la distance habituelle (euclidienne), les boules sont rondes ; avec une autre distance, elles peuvent prendre une forme de cube ⁵. Rassure-toi : ces idées dépassent le programme de 3e. Retiens simplement que la définition par la distance est solide et se généralise.

Pour la suite de ton parcours en 3e, trois chapitres s'appuient sur celui-ci : les sections de solides, le repérage sur la sphère (latitude, longitude) et les volumes. Le programme précise que le repérage sur la sphère s'appuie sur une modélisation de la Terre par une sphère, avec ses pôles ³.