Sphère et boule : exercices corrigés de 3e

Les points $A$ et $D$ sont à $5$ cm de $O$, égale au rayon : ils sont sur la sphère.⁴

Le point $B$ est à $3$ cm, donc plus près que le rayon : il est à l'intérieur, dans la boule mais pas sur la sphère.

Les points $C$ ($7$ cm) et $E$ ($6$ cm) sont plus loin que le rayon : ils sont hors de la boule.

Appartiennent à la boule les points dont la distance est inférieure ou égale à $5$ cm : $A$, $B$ et $D$, soit 3 points.⁴

Le rayon vaut $14 \div 2 = 7$ cm.

On remplace dans la formule : $V=\dfrac{4}{3}\times\pi\times 7^3$.

On calcule $7^3 = 343$, donc $V=\dfrac{4\times 343}{3}\pi=\dfrac{1372}{3}\pi$.

À la calculatrice, $V\approx 1\,436{,}755$, soit environ $1\,437$ $\text{cm}^3$.

Le diamètre est le double du rayon.

On calcule $2\times 6\,371 = 12\,742$.

$OH$ est perpendiculaire au plan de section, donc à la droite $HM$ contenue dans ce plan : $OHM$ est rectangle en $H$.

Le point $M$ est sur la sphère, donc sa distance au centre est le rayon : $OM = 13$ cm.⁴

Pythagore : $OM^2 = OH^2 + HM^2$, donc $HM^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.

Donc $HM=\sqrt{144}=12$ cm.

Le volume de la petite boule est $V_1=\dfrac{4}{3}\pi r^3$.

Le volume de la grande est $V_2=\dfrac{4}{3}\pi(2r)^3=\dfrac{4}{3}\pi\times 8r^3$.

On compare : $\dfrac{V_2}{V_1}=8$.

Cylindre : $V_c=\pi\times 3^2\times 10=90\pi$.

Boule entière de rayon $3$ : $\dfrac{4}{3}\pi\times 27=36\pi$.

Demi-boule : $V_d=36\pi\div 2=18\pi$.

Total : $V=90\pi+18\pi=108\pi\approx 339{,}29$, soit environ $339$ $\text{cm}^3$.

Boîte : $30\times 10\times 10 = 3\,000$ $\text{cm}^3$.

Une balle : $\dfrac{4}{3}\pi\times 5^3=\dfrac{500}{3}\pi$.

Trois balles : $3\times\dfrac{500}{3}\pi=500\pi\approx 1\,570{,}80$ $\text{cm}^3$.

Volume vide : $3\,000-500\pi\approx 1\,429{,}20$, soit environ $1\,429$ $\text{cm}^3$.

On pose $\dfrac{4}{3}\pi r^3=36\pi$.

On divise par $\pi$ : $\dfrac{4}{3}r^3=36$.

On multiplie par $\dfrac{3}{4}$ : $r^3=36\times\dfrac{3}{4}=27$.

Comme $3^3=27$ et que $r>0$, on obtient $r=3$ cm.