Les volumes : cours de 3e

Remplir une piscine, choisir un carton de déménagement, savoir combien de litres tient une cuve : dans tous ces cas, tu cherches la place disponible à l'intérieur d'un objet. C'est un volume. En 3e, tu rassembles tout ce que tu as vu depuis la 6e et tu l'utilises sur des solides variés : prismes, cylindres, pyramides, cônes et boules.

Les programmes de 3e demandent notamment de calculer le volume d'assemblages de solides étudiés au cours du cycle, par exemple un cylindre surmonté d'une demi-boule de même diamètre.¹ Ils invitent aussi à étudier comment un volume dépend d'une autre grandeur, comme le rayon.² Ce cours suit cette progression : définition, formules, unités, assemblages, puis dépendance du volume vis-à-vis des dimensions.

Tu auras besoin de ce que tu connais déjà : la sphère et la boule, les sections de solides et le repérage sur la sphère. Si $\pi$ ou les puissances te posent problème, reprends d'abord ces points calmement : presque tous les calculs de ce chapitre en dépendent.

Le mot a un autre sens courant : le volume d'un livre ou d'un tome. En mathématiques, on ne garde que le sens « place occupée dans l'espace ». Les solides comme le cône, le prisme ou la pyramide sont des figures à trois dimensions, délimitées par des faces.⁶

Un cube de $1\ \text{cm}$ d'arête a un volume de $1\ \text{cm}^3$. Un cube de $1\ \text{dm}$ d'arête a un volume de $1\ \text{dm}^3$, soit $10 \times 10 \times 10 = 1\,000\ \text{cm}^3$. De la même façon, $1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{dm}^3$.

L'idée est simple : on empile des « tranches » identiques à la base. L'aire de la base te donne une tranche, la hauteur te dit combien on en empile. Pour un cylindre, la base est un disque d'aire $\pi r^2$.

Les programmes prévoient la construction d'une pyramide à base polygonale et d'un cône, ainsi que le calcul de leur volume.⁵ Un cône et une pyramide sont des solides qui « se terminent en pointe » au-dessus de leur base.

Le rayon est élevé au cube : le volume ne croît pas proportionnellement au rayon. Cette dépendance entre le volume et le rayon est justement un exemple de relation entre deux grandeurs géométriques que les ressources pédagogiques proposent d'étudier.²

Beaucoup d'objets réels sont formés de plusieurs solides collés : un silo, une bougie, un entonnoir. Le programme de 3e demande de calculer le volume d'assemblages de solides, par exemple un cylindre surmonté d'une demi-boule de même diamètre.¹ Il propose aussi des situations où l'on cherche le volume restant dans une boîte cylindrique.¹

Un énoncé de DNB mêle souvent calcul de volume et conversion en litres. Ces problèmes mettent en jeu des grandeurs comme la longueur, l'aire et le volume, et demandent de choisir les bons outils parmi ceux du chapitre.² La capacité d'un récipient, comme une baignoire, une bouteille ou un coffre, correspond à son volume intérieur.⁶