Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k2 et les volumes par k3.
k>1 : agrandissement ; 0<k<1 : réduction ; k=1 : la figure ne change pas.
Pour passer d'un volume à un autre, on utilise k3, pas k : doubler les longueurs multiplie le volume par 8.
Pour retrouver k à partir de deux volumes, on calcule le rapport des volumes puis sa racine cubique.
Un volume se mesure en unités cubes (cm³, m³) : convertis toujours avant de comparer. Volume et masse sont deux grandeurs différentes.
Introduction : pourquoi ce chapitre ?
Une maquette d'immeuble, une carte, un modèle réduit de voiture, une photo zoomée : dans tous ces cas, on reproduit un objet en changeant sa taille, sans changer sa forme. Le programme de 3e demande de savoir calculer des longueurs, des aires et des volumes dans une telle situation, en particulier dans une homothétie de rapport k2. Les élèves étudient justement l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les aires et les volumes 3.
La question centrale du chapitre est simple à poser : si je multiplie toutes les longueurs d'un objet par k, par combien est multiplié son volume ? Beaucoup d'élèves répondent « par k ». C'est faux, et cette erreur coûte des points au DNB. Tu vas comprendre pourquoi, avec un raisonnement que tu pourras refaire seul(e) le jour de l'examen.
Ce cours s'appuie sur deux notions déjà vues : les pourcentages et évolutions (un agrandissement de 50 % correspond à un rapport k=1,5) et les grandeurs composées. Tu dois aussi savoir calculer le volume d'un pavé droit.
Rappels : longueurs, aires, volumes
Dès le cycle 3, l'aire, le volume et l'angle sont venus s'ajouter à la longueur, chacun avec ses unités 3. Un solide possède plusieurs grandeurs différentes : l'aire de l'ensemble de ses faces, son volume, ou encore sa masse 3.
Agrandissement et réduction : le rapport k
Effet sur les aires et les volumes : la règle de k² et k³
Démonstration · Pourquoi k³ pour un pavé droit ?
Prenons un pavé droit de dimensions L, ℓ et h. Son volume est V=L×ℓ×h.
Après un agrandissement ou une réduction de rapport k, les dimensions deviennent kL, kℓ et kh. Le nouveau volume est
V′=kL×kℓ×kh=k×k×k×Lℓh=k3×V.
De la même façon, l'aire d'une face de dimensions L et ℓ devient kL×kℓ=k2Lℓ : elle est multipliée par k2.
Effet du rapport k sur les grandeurs
Rapport k
Longueurs (×k)
Aires (×k²)
Volumes (×k³)
2
× 2
× 4
× 8
3
× 3
× 9
× 27
10
× 10
× 100
× 1 000
1/2
÷ 2
÷ 4
÷ 8
Effet du rapport k sur les grandeurs · Les facteurs sont k, k² et k³.
Méthodes de calcul
Trouver kLongueur après ÷ longueur avant
Calculer k³Multiplier k trois fois par lui-même
MultiplierVolume de départ × k³
ConclureÉcrire l'unité : cm³ ou m³
Méthode : volume après agrandissement ou réduction
Solides composés et situations du DNB
Le programme prévoit le calcul de volumes d'assemblages de solides étudiés au cours du cycle 2. Parmi les cas cités, on trouve un solide formé d'un cylindre coiffé d'une moitié de boule dont le diamètre est celui du cylindre 2. Un autre type de sujet demande de trouver ce qui reste de place dans une boîte de forme cylindrique 2. Dans les deux cas, la démarche est la même : on découpe l'objet en solides simples, on calcule chaque volume, puis on additionne ou on soustrait.
Erreurs fréquentes et réflexes de contrôle
Exercices corrigés
Exercice 1 Agrandir un pavé
★☆☆Environ 6 min
Un pavé droit mesure 4 cm de long, 3 cm de large et 2 cm de haut. On l'agrandit avec un rapport k=3.
Calcule le volume du pavé agrandi, en cm³.
Indice 1
Calcule d'abord le volume du pavé de départ.
Indice 2
Le volume est multiplié par k3.
Voir la correction pas à pas
Volume initial : 4×3×2=24 cm3.
Facteur pour le volume : k3=33=27.
Volume agrandi : 24×27=648 cm3.
Contrôle : les dimensions deviennent 12, 9 et 6, et 12×9×6=648.
Le volume est multiplié par 27 quand les longueurs sont triplées. Le contrôle par les nouvelles dimensions confirme le résultat.
Exercice 2 Volume réel d'une statue
★★☆Environ 8 min
Une maquette d'une statue est une réduction de rapport 201. Le volume de la maquette est de 150 cm3.
Calcule le volume de la statue réelle, en m³. On rappelle que 1 m3=1000000 cm3.
Indice 1
La maquette est la réduction : pour retrouver la statue, multiplie par 203.
Indice 2
Convertis à la fin les cm³ en m³.
Voir la correction pas à pas
Passer de la maquette à la statue revient à agrandir avec k=20.
Facteur pour le volume : 203=8000.
Volume de la statue : 150×8000=1200000 cm3.
Conversion : 1200000÷1000000=1,2 m3.
La statue a un volume de 1,2 m3. Attention : multiplier par 20 seulement aurait donné 3000 cm3, ce qui est absurde pour une statue.
Exercice 3 Retrouver le rapport
★★★Environ 8 min
Un flacon a un volume de 5 cm3. Un flacon de même forme, mais plus grand, a un volume de 135 cm3.
Détermine le rapport k d'agrandissement du petit flacon au grand.
Indice 1
Calcule le rapport des deux volumes.
Indice 2
Cherche le nombre dont le cube est égal à ce rapport.
Voir la correction pas à pas
Rapport des volumes : 5135=27.
Comme les volumes sont multipliés par k3, on a k3=27.
Or 3×3×3=27, donc k=3.
Contrôle : si le petit flacon mesure 4 cm de haut, le grand mesure 12 cm.
Le rapport est k=3. Réflexe à garder : un rapport de volumes égal à 27 correspond à des longueurs triplées, et non multipliées par 27.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le volume dépend de trois dimensions : chacune est multipliée par k, donc le volume est multiplié par k×k×k=k3. k convient aux longueurs, k2 aux aires, et 3k est une confusion avec k3.
Le volume est multiplié par (21)3=81, donc divisé par 8. « Divisé par 2 » oublie les trois dimensions ; « divisé par 4 » correspond aux aires.
Une aire est multipliée par k2=32=9. Répondre 3 revient à traiter l'aire comme une longueur ; répondre 27 revient à utiliser la règle des volumes.
La nouvelle arête vaut 10 cm et 103=1000. On peut aussi faire 8×53=8×125=1000. Le piège est de calculer 8×5=40.
Faux. Le volume est alors multiplié par 2 seulement, car une seule dimension change. La règle en k3 n'est valable que si toutes les dimensions sont multipliées par le même k.
Le rapport des volumes vaut 10640=64 et 43=64, donc k=4. Répondre 64 confond le rapport des volumes avec k ; 8 viendrait de 82=64 (la règle des aires).
Les questions qu'on se pose
Pourquoi le volume est-il multiplié par k³ et pas par k ?
Parce qu'un volume dépend de trois dimensions (longueur, largeur, hauteur). Chacune est multipliée par k, et on multiplie les trois : k×k×k=k3. L'exemple du cube d'arête 2 doublé en témoigne : il contient huit petits cubes, donc son volume est multiplié par 8.
Comment savoir s'il faut utiliser k, k² ou k³ ?
Regarde l'unité de la grandeur demandée : cm (longueur) → k ; cm² (aire) → k2 ; cm³ (volume) → k3. L'exposant est égal au nombre de dimensions.
À quoi ça sert dans la vie courante ?
Dès qu'on change d'échelle : une maquette, un modèle réduit, un emballage plus grand de même forme. Le programme prévoit d'ailleurs de calculer longueurs, aires et volumes dans une homothétie de rapport k2. Un contenant dont les dimensions sont doublées contient huit fois plus, pas deux fois plus.
Est-ce que ça tombe au DNB ?
Les calculs de volumes, y compris pour des assemblages de solides, font partie des attendus de 3e 2. L'effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les aires et les volumes peut s'y glisser dans un exercice de géométrie dans l'espace ou de proportionnalité. Maîtriser la règle en k3 et savoir retrouver k te permet de traiter ce genre de question.
Si le volume est multiplié par 27, de combien les longueurs sont-elles multipliées ?
Par 3, car 33=27. On cherche le nombre dont le cube vaut 27. Pour les aires, on chercherait le nombre dont le carré vaut le facteur d'aire : un facteur 9 correspond aussi à k=3.