Agrandissement et réduction : cours de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un agrandissement ou une réduction multiplie toutes les dimensions d'une figure par un même nombre k, le rapport : k > 1 pour un agrandissement, k < 1 pour une réduction.²
Les aires sont multipliées par k², les volumes par k³.²
Pour trouver k, on divise une longueur de la figure obtenue par la longueur correspondante de la figure de départ.
Sur une carte topographique, l'échelle joue le rôle du rapport de la réduction.²
Piège classique : appliquer k à une aire ou à un volume au lieu de k² ou k³.

Introduction : agrandir sans déformer

Quand tu photocopies un dessin en l'agrandissant, ou quand tu regardes une carte routière, tu as sous les yeux une figure qui ressemble à l'original mais qui n'a pas la même taille. Les mathématiciens appellent cela un agrandissement ou une réduction. L'idée est simple : on change la taille, mais pas la forme.

Ce chapitre prolonge le théorème de Thalès et sa réciproque. Dans ces deux notions, tu as comparé des longueurs par des rapports égaux. Ici, tu vas utiliser un seul rapport, toujours le même, pour passer d'une figure à une autre. Le programme de 3e demande par exemple de donner le coefficient qui permet de passer d'un petit carré à un grand, ou d'un grand carré à un moyen.¹

Au fil du cours, tu vas apprendre à reconnaître un agrandissement ou une réduction, à trouver le rapport, à prévoir ce que deviennent les longueurs, les aires et les volumes, puis à t'en servir sur une carte ou une maquette.

Définition : le rapport k

Le rapport est noté en général $k$ . Il est positif dans ce chapitre. Voici comment l'interpréter :

si $k > 1$ , la figure obtenue est plus grande que la figure de départ : c'est un agrandissement ;
si $0 < k < 1$ , la figure obtenue est plus petite : c'est une réduction ;
si $k = 1$ , la figure ne change pas de taille (cas particulier sans intérêt pratique).

Calculer le rapport k

RepérerChoisis deux longueurs homologues.
DiviserLongueur obtenue divisée par longueur de départ.
Conclurek > 1 : agrandissement, k < 1 : réduction.
VérifierUne seconde paire de longueurs donne le même k.

Trouver le rapport k

Effet sur les longueurs, les aires et les volumes

Effet du rapport k selon la grandeur
Grandeur	Multipliée par	Si k = 3
Longueur	k	× 3
Aire	k²	× 9
Volume	k³	× 27

Effet du rapport k selon la grandeur · Coefficients d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k.

Pourquoi $k^2$ pour une aire ? Prends un rectangle de $2$ cm sur $3$ cm. Son aire vaut $2 \times 3 = 6$ cm². Si tu multiplies chaque dimension par $k$ , l'aire du nouveau rectangle est $(2k) \times (3k) = 6k^2$ . Le facteur $k$ apparaît deux fois, une fois pour chaque dimension.

Pourquoi $k^3$ pour un volume ? Pour un pavé de dimensions $a$ , $b$ , $c$ , le volume est $abc$ . Après transformation, il devient $(ka)(kb)(kc) = k^3abc$ . Le facteur $k$ apparaît trois fois.

Démonstration · Cas du carré et du cube

Soit un carré de côté $c$ . Son aire est $c^2$ . Après une transformation de rapport $k$ , le côté est $kc$ , donc l'aire est $(kc)^2 = k^2c^2$ : elle est bien multipliée par $k^2$ .

Soit un cube d'arête $c$ . Son volume est $c^3$ . Après transformation, l'arête est $kc$ et le volume est $(kc)^3 = k^3c^3$ : il est multiplié par $k^3$ .

Retrouver k à partir d'une aire ou d'un volume

Cartes, plans et maquettes

Quand on dessine une carte topographique, on réduit le terrain réel : l'échelle écrite sur le document est le rapport de cette réduction.² Un plan d'appartement ou une maquette de bâtiment fonctionnent de la même façon : ce sont des réductions de la réalité.

Une échelle de $\frac{1}{25\,000}$ signifie que $1$ cm sur la carte représente $25\,000$ cm dans la réalité, soit $250$ m. Le rapport de la réduction est $k = \frac{1}{25\,000}$ quand on passe de la réalité à la carte.

Résoudre un problème complet

Exercices corrigés

Exercice 1 Agrandir un rectangle

★☆☆Environ 6 min

Un rectangle mesure $4$ cm de long et $6$ cm de large. On l'agrandit avec un rapport $k = 2{,}5$ .

Calcule les dimensions du nouveau rectangle.
Calcule l'aire du nouveau rectangle, en cm².

Indice 1

Multiplie chaque dimension par $2{,}5$ .

Indice 2

Tu peux aussi multiplier l'aire initiale par $k^2$ pour vérifier.

Voir la correction pas à pas

Longueur : $4 \times 2{,}5 = 10$ cm. Largeur : $6 \times 2{,}5 = 15$ cm.
Aire du nouveau rectangle : $10 \times 15 = 150$ cm².
Vérification : aire initiale $4 \times 6 = 24$ cm², et $24 \times 2{,}5^2 = 24 \times 6{,}25 = 150$ cm². Les deux méthodes concordent.

Le nouveau rectangle mesure $10$ cm sur $15$ cm et son aire est de $150$ cm².

Exercice 2 Réduire un cube

★★☆Environ 8 min

Un cube a pour arête $12$ cm. On le réduit avec un rapport $k = \frac{1}{3}$ .

Calcule l'arête du cube réduit.
Calcule le volume du cube réduit, en cm³.
Par quel nombre le volume a-t-il été multiplié ?

Indice 1

Le volume d'un cube d'arête $c$ est $c^3$ .

Indice 2

Le volume est multiplié par $k^3$ .

Voir la correction pas à pas

Arête du cube réduit : $12 \times \frac{1}{3} = 4$ cm.
Volume du cube réduit : $4^3 = 64$ cm³.
Volume initial : $12^3 = 1\,728$ cm³. Le coefficient est $\frac{64}{1\,728} = \frac{1}{27}$ , ce qui vaut bien $\left(\frac{1}{3}\right)^3$ .

Le cube réduit a une arête de $4$ cm et un volume de $64$ cm³ : le volume a été multiplié par $\frac{1}{27}$ .

Exercice 3 Distance sur une carte

★★☆Environ 6 min

Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{25\,000}$ , la distance entre une gare et un lac mesure $8$ cm. Quelle est la distance réelle, en km ?

Indice 1

Multiplie la distance sur la carte par $25\,000$ .

Indice 2

Convertis ensuite des centimètres en kilomètres : $1$ km $= 100\,000$ cm.

Voir la correction pas à pas

Distance réelle en cm : $8 \times 25\,000 = 200\,000$ cm.
Conversion : $200\,000$ cm $= 2\,000$ m $= 2$ km.

La gare et le lac sont distants de $2$ km dans la réalité.

Exercice 4 Retrouver le rapport à partir des aires

★★★Environ 10 min

Un triangle a une aire de $20$ cm². Un agrandissement de ce triangle a une aire de $45$ cm².

Par quel nombre l'aire a-t-elle été multipliée ?
En déduire le rapport $k$ de l'agrandissement.
Le triangle de départ a un côté de $6$ cm. Que mesure le côté homologue dans l'agrandissement ?

Indice 1

Le coefficient d'aire vaut $k^2$ .

Indice 2

Pour retrouver $k$ à partir de $k^2$ , utilise la racine carrée.

Voir la correction pas à pas

Coefficient d'aire : $\frac{45}{20} = \frac{9}{4}$ .
On a $k^2 = \frac{9}{4}$ et $k > 0$ , donc $k = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$ .
Côté homologue : $6 \times 1{,}5 = 9$ cm.

Le rapport est $k = 1{,}5$ , ce qui est bien un agrandissement ( $k > 1$ ), et le côté homologue mesure $9$ cm.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il s'agit d'un agrandissement ou d'une réduction ?

Regarde le rapport $k$ . Supérieur à 1 : c'est un agrandissement. Inférieur à 1 : c'est une réduction.² Tu peux aussi comparer simplement les deux figures : la figure obtenue est-elle plus grande ou plus petite que celle de départ ?

Pourquoi l'aire est-elle multipliée par k² et pas par k ?

Parce qu'une aire dépend de deux dimensions, par exemple la longueur et la largeur d'un rectangle. Chacune est multipliée par $k$ , donc leur produit est multiplié par $k \times k = k^2$ .² De même, un volume dépend de trois dimensions, d'où $k^3$ .

Que faire si les longueurs sont données dans des unités différentes ?

Convertis-les dans la même unité avant de calculer le rapport. Un rapport entre $20$ cm et $4$ m n'est pas $\frac{20}{4}$ mais $\frac{20}{400} = \frac{1}{20}$ . Le rapport $k$ n'a pas d'unité.

Quel est le lien avec le théorème de Thalès ?

Dans les deux notions, on compare des longueurs par un rapport constant. Avec Thalès, le rapport apparaît entre les côtés de deux triangles dont les droites sont parallèles ; avec un agrandissement ou une réduction, il s'applique à toute la figure. Reconnaître un rapport constant aide dans les deux cas.

Que demande-t-on sur ce chapitre au DNB ?

Le programme prévoit de donner le coefficient d'un agrandissement ou d'une réduction entre des figures comme des carrés.¹ Les sujets mêlent souvent ce calcul à un problème sur les aires ou les volumes, ou à une échelle de carte ou de maquette. La méthode reste la même : trouver $k$ , puis choisir entre $k$ , $k^2$ et $k^3$ .

Sources

Programme visé : Programme officiel de mathématiques — 3e (Cycle 4) · Éduscol — Ministère de l'Éducation

Programme officiel de mathématiques — 3e (Cycle 4), Éduscol — Ministère de l'Éducation. Consulté le 6 novembre 2026.
Agrandissement et réduction, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Retrouver k à partir d'une aire ou d'un volume

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Exercice 2 Réduire un cube

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