Le théorème de Thalès : cours de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Si $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles et que $A$ est le point d'intersection de $(BD)$ et $(CE)$ , alors $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$ .
Avant d'écrire l'égalité, vérifie trois choses : les points sont alignés, les droites sont parallèles, les rapports associent des côtés qui se correspondent.
Dans chaque rapport, le numérateur vient du petit triangle $ADE$ et le dénominateur du grand triangle $ABC$ (ou l'inverse partout, jamais un mélange).
Pour trouver une longueur inconnue, on écrit l'égalité de deux rapports puis on fait un produit en croix.
Le sens direct sert à calculer des longueurs ; pour prouver un parallélisme, on utilise la réciproque, étudiée ensuite.

D'où vient le théorème de Thalès ?

Tu as sûrement déjà utilisé une règle de proportionnalité sans le savoir : une photo agrandie, une carte à l'échelle, une recette multipliée par deux. Le théorème de Thalès est exactement cela, appliqué à la géométrie : il relie les longueurs d'un triangle à celles d'un triangle plus petit (ou plus grand) qui en est une copie à une autre échelle. C'est l'un des outils les plus utilisés au DNB, et il suffit de bien l'organiser pour qu'il devienne mécanique.

Un mot sur le nom. Thalès de Milet était un penseur et savant grec : il serait venu au monde à Milet vers 625-620 avant notre ère et y serait mort vers 548-545.³ On lui prête de nombreux exploits, dont le calcul de la hauteur de la grande pyramide de Khéops et le théorème qui porte son nom.³ Pourtant, les historiens ne retiennent pas cette paternité.² Elle s'explique sans doute par une légende de Plutarque : Thalès aurait obtenu la hauteur d'une pyramide en comparant la longueur de son ombre à celle de l'ombre d'un bâton de hauteur connue.² Même cette anecdote est discutée : il y a de fortes chances qu'elle soit fausse.¹

L'énoncé : de quoi parle-t-on exactement ?

Le théorème de Thalès appartient à la géométrie plane. Si l'on trace une parallèle à un côté d'un triangle, elle découpe avec les deux autres côtés un second triangle dont les longueurs sont proportionnelles à celles du premier.² Traduisons cela avec des lettres, pour pouvoir calculer.

Configuration de Thalès dans un triangle · Figure à l'échelle : AD = 4 cm, AB = 8 cm, AE = 3 cm, AC = 6 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm.

Sur la figure, le point $A$ est le sommet commun aux deux triangles. Le petit triangle $ADE$ est une réduction du grand triangle $ABC$ . Les côtés qui se correspondent sont :

Petit triangle $ADE$	Grand triangle $ABC$
$AD$	$AB$
$AE$	$AC$
$DE$	$BC$

Chaque ligne du tableau donne un rapport de l'égalité de Thalès.

Pourquoi les rapports sont-ils égaux ?

On peut voir le théorème comme un agrandissement. Les triangles $ABC$ et $ADE$ sont homothétiques : une homothétie de centre $A$ envoie $B$ sur $D$ et $C$ sur $E$ .² Son rapport vaut $\frac{AD}{AB}$ dans la première configuration, et son opposé dans la seconde.² Ces mots (homothétie, rapport) seront revus avec l'agrandissement et la réduction ; pour l'instant, retiens l'idée : tout est multiplié par le même nombre.

Cette idée explique pourquoi le théorème sert d'abord à calculer des longueurs : si tu connais le coefficient de réduction (ou d'agrandissement) grâce à un côté, tu l'appliques aux autres. C'est la même logique que dans un tableau de proportionnalité.

Les deux configurations à reconnaître

Le théorème s'applique dans deux dessins différents, que l'on rencontre tous les deux dans les exercices.²

La méthode : rédiger une solution complète

Au DNB, une réponse juste sans rédaction rapporte peu de points. La rédaction suit toujours le même schéma : je vérifie les hypothèses, j'applique le théorème, je calcule.

ExempleExemple 1 : calculer une longueur dans un triangle emboîté

Énoncé. Dans le triangle $ABC$ , $D$ est un point de $[AB]$ et $E$ un point de $[AC]$ , avec $(DE)\parallel(BC)$ . On donne $AD=3$ cm, $AB=9$ cm et $AE=4$ cm. Calculer $AC$ .

Rédaction.

Les points $A$ , $D$ , $B$ sont alignés, les points $A$ , $E$ , $C$ sont alignés, et $(DE)\parallel(BC)$ .

D'après le théorème de Thalès :

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

On utilise les deux premiers rapports : $\dfrac{3}{9}=\dfrac{4}{AC}$ .

Donc $AC=\dfrac{4\times 9}{3}=12$ .

Conclusion. $AC=12$ cm.

Contrôle : $\frac{3}{9}=\frac13$ et $\frac{4}{12}=\frac13$ . Les deux rapports sont bien égaux.

Les erreurs fréquentes à éviter

Quand les rapports ne sont pas égaux : la contraposée

Le sens direct sert aussi à montrer que deux droites ne sont pas parallèles. Si les rapports ne sont pas égaux alors que toute la configuration est en place, l'hypothèse de parallélisme est forcément fausse.² On parle de raisonnement par contraposée.

À quoi sert le théorème dans la vraie vie ?

La légende de la pyramide reste le meilleur exemple : un bâton de hauteur connue et sa mesure d'ombre permettent d'en déduire la hauteur d'un grand objet, par proportionnalité.² Même si l'histoire est discutée, le principe est correct : le Soleil est si lointain que ses rayons arrivent presque parallèles, et un bâton planté droit et un grand objet vertical forment avec leurs ombres deux triangles dans une configuration de Thalès. Le théorème sert aussi dans des instruments de calcul de longueurs, dès que l'on dispose de deux droites parallèles.²

ExempleHauteur d'un arbre par son ombre

On plante un bâton vertical de $1{,}5$ m. Son ombre mesure $2$ m. Au même moment, l'ombre d'un arbre mesure $12$ m. Les rayons du Soleil sont supposés parallèles. Le bâton est placé de façon que son ombre se termine au même point que celle de l'arbre : les deux ombres sont alors alignées sur le sol et les deux triangles ont ce point pour sommet commun.

Le bâton et l'arbre sont tous deux verticaux, donc parallèles entre eux. Dans les triangles formés par l'objet, son ombre et le rayon, le théorème donne :

$\frac{\text{hauteur du bâton}}{\text{hauteur de l'arbre}}=\frac{\text{ombre du bâton}}{\text{ombre de l'arbre}}$

Soit $\dfrac{1{,}5}{h}=\dfrac{2}{12}$ , donc $h=\dfrac{1{,}5\times 12}{2}=9$ m. L'arbre mesure 9 m.

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer une longueur dans un triangle emboîté

★☆☆Environ 8 min

Dans le triangle $ABC$ , le point $D$ appartient à $[AB]$ et le point $E$ à $[AC]$ . Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AD=3$ cm, $AB=9$ cm et $AE=4$ cm. Calcule la longueur $AC$ en rédigeant avec le théorème de Thalès.

Indice 1

Écris d'abord l'égalité des trois rapports en commençant par $\frac{AD}{AB}$ .

Indice 2

Garde les deux rapports qui contiennent des longueurs connues, puis fais le produit en croix.

Voir la correction pas à pas

Les points $A$ , $D$ , $B$ sont alignés, les points $A$ , $E$ , $C$ sont alignés et $(DE)\parallel(BC)$ : les hypothèses sont vérifiées.
D'après le théorème de Thalès : $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$ .
On retient les deux premiers rapports : $\dfrac{3}{9}=\dfrac{4}{AC}$ .
Produit en croix : $AC=\dfrac{4\times 9}{3}$ .
Calcul : $AC=\dfrac{36}{3}=12$ .

Donc $AC=12$ cm. Vérification : $\frac{3}{9}=\frac13$ et $\frac{4}{12}=\frac13$ .

Exercice 2 Calculer le côté parallèle

★☆☆Environ 8 min

Dans un triangle $ABC$ , $D$ est sur $[AB]$ et $E$ sur $[AC]$ , avec $(DE)\parallel(BC)$ . On donne $AB=10$ cm, $AD=4$ cm et $BC=15$ cm. Calcule $DE$ .

Indice 1

Quels sont les deux rapports qui contiennent $DE$ et des longueurs connues ?

Indice 2

Tu peux d'abord calculer le coefficient $\frac{AD}{AB}$ .

Voir la correction pas à pas

Les points sont alignés et $(DE)\parallel(BC)$ : on peut appliquer le théorème de Thalès.
On écrit : $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$ , soit $\dfrac{4}{10}=\dfrac{DE}{15}$ .
Produit en croix : $DE=\dfrac{4\times 15}{10}$ .
Calcul : $DE=\dfrac{60}{10}=6$ .

Donc $DE=6$ cm. Le petit triangle est une réduction de coefficient $0{,}4$ : $15\times0{,}4=6$ .

Exercice 3 Une configuration en papillon

★★☆Environ 10 min

Les droites $(BD)$ et $(CE)$ se coupent en $A$ . Le point $A$ est entre $B$ et $D$ , et entre $C$ et $E$ . Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles. On donne $AB=6$ cm, $AD=4$ cm et $AC=9$ cm.

Fais un schéma à main levée de la situation.
Calcule $AE$ .

Indice 1

Dans une configuration en papillon, l'égalité des rapports s'écrit comme dans le cas emboîté.

Indice 2

Écris $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ .

Voir la correction pas à pas

Schéma : deux triangles opposés par le sommet $A$ , avec $(BC)$ et $(DE)$ parallèles.
Les points $B$ , $A$ , $D$ sont alignés, les points $C$ , $A$ , $E$ sont alignés, et $(BC)\parallel(DE)$ .
D'après le théorème de Thalès : $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$ .
On écrit : $\dfrac{4}{6}=\dfrac{AE}{9}$ .
Produit en croix : $AE=\dfrac{4\times 9}{6}=\dfrac{36}{6}=6$ .

Donc $AE=6$ cm.

Exercice 4 Hauteur d'un arbre grâce à son ombre

★★★Environ 12 min

À un moment de la journée, un bâton vertical de $1{,}5$ m de haut projette une ombre de $2$ m. Au même moment, l'ombre d'un arbre vertical mesure $12$ m. Le bâton est placé de façon que son ombre se termine au même point que celle de l'arbre. On suppose que les rayons du Soleil sont parallèles.

Explique pourquoi on peut utiliser le théorème de Thalès.
Calcule la hauteur de l'arbre.

Indice 1

Le bâton et l'arbre sont tous deux perpendiculaires au sol.

Indice 2

Écris le rapport hauteur du bâton / hauteur de l'arbre égal au rapport de leurs ombres.

Voir la correction pas à pas

Le bâton et l'arbre sont verticaux, donc parallèles entre eux ; les deux ombres se terminent au même point, qui est le sommet commun des deux triangles ; les rayons du Soleil sont supposés parallèles : on obtient deux triangles dans une configuration de Thalès.
Notons $h$ la hauteur de l'arbre : $\dfrac{1{,}5}{h}=\dfrac{2}{12}$ .
Produit en croix : $h=\dfrac{1{,}5\times 12}{2}$ .
Calcul : $h=\dfrac{18}{2}=9$ .

L'arbre mesure 9 m.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quels rapports écrire ?

Repère le sommet commun $A$ , puis associe chaque côté du petit triangle à son côté correspondant dans le grand triangle. Écris toujours le petit au numérateur (ou toujours au dénominateur). Tu obtiens $\frac{AD}{AB}$ , $\frac{AE}{AC}$ et $\frac{DE}{BC}$ ; il ne reste qu'à choisir les deux rapports utiles.

Quelle est la différence entre Thalès et sa réciproque ?

Le sens direct part du parallélisme pour en déduire des égalités de rapports et calculer des longueurs. La réciproque suit le chemin inverse : à partir de rapports égaux, elle permet d'affirmer que deux droites sont parallèles.² Elle fait l'objet du chapitre suivant.

Faut-il toujours écrire la conclusion avec l'unité ?

Oui. Au DNB, une réponse sans unité ou sans phrase de conclusion peut perdre des points. Écris par exemple « Donc $AC=12$ cm. »

Le théorème de Thalès tombe-t-il vraiment au DNB ?

C'est un classique des exercices de géométrie : calcul de longueurs, problème de la vie courante (ombres, échelles, schémas), parfois démonstration d'un parallélisme avec la réciproque. S'entraîner à la rédaction en suivant la méthode de ce cours est le meilleur investissement.

Peut-on utiliser le théorème dans un triangle qui n'est pas rectangle ?

Oui, il s'applique à n'importe quel triangle. Il suffit qu'il y ait deux droites parallèles et la configuration décrite dans l'énoncé du cours.

Sources

Aux sources du théorème du perroquet, Images des mathématiques (CNRS). Consulté le 6 novembre 2026.
Théorème de Thalès, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Thalès, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

D'où vient le théorème de Thalès ?

L'énoncé : de quoi parle-t-on exactement ?

Pourquoi les rapports sont-ils égaux ?

Les deux configurations à reconnaître

La méthode : rédiger une solution complète

Les erreurs fréquentes à éviter

Quand les rapports ne sont pas égaux : la contraposée

À quoi sert le théorème dans la vraie vie ?

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