Théorème de Thalès : exercices corrigés de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Dans un triangle coupé par une parallèle à un côté, les côtés du petit triangle sont proportionnels à ceux du grand ².
On écrit l'égalité des trois rapports, puis on utilise le produit en croix pour trouver la longueur manquante.
Avant de calculer, vérifie toujours que les deux droites sont parallèles et que les points sont bien alignés.
Si les rapports ne sont pas égaux, les droites ne sont pas parallèles ².

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices sont classés du plus simple au plus délicat. Les premiers demandent un seul produit en croix. Les derniers t'obligent à écrire une équation, à raisonner sur un périmètre ou à prouver que deux droites ne sont pas parallèles. Cherche toujours seul(e) pendant quelques minutes avant d'ouvrir un indice, puis compare ta rédaction avec la correction, étape par étape.

Les exercices

Exercice 1 Trouver le grand côté

★☆☆Environ 5 min

Dans le triangle $ABC$ , le point $D$ est sur $[AB]$ et le point $E$ est sur $[AC]$ . Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AD=3$ cm, $AB=9$ cm et $AE=4$ cm.

Calcule la longueur $AC$ .

Indice 1

Écris l'égalité $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ .

Indice 2

Le rapport $\frac{AD}{AB}$ se simplifie en une fraction très simple.

Voir la correction pas à pas

On vérifie les conditions : $D\in(AB)$ , $E\in(AC)$ et $(DE)\parallel(BC)$ . Le théorème de Thalès s'applique dans le triangle $ABC$ .
On écrit l'égalité des rapports : $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ .
On remplace par les valeurs : $\frac{3}{9}=\frac{4}{AC}$ .
Produit en croix : $3\times AC=9\times 4=36$ .
On divise par 3 : $AC=\frac{36}{3}=12$ .

$AC=12$ cm. Le rapport $\frac{AD}{AB}=\frac13$ montre que $AC$ vaut trois fois $AE$ , ce qui est cohérent.

Exercice 2 Trouver le côté parallèle

★☆☆Environ 5 min

Dans le triangle $ABC$ , $D$ est sur $[AB]$ , $E$ est sur $[AC]$ et $(DE)\parallel(BC)$ . On donne $AD=2$ cm, $AB=5$ cm et $BC=10$ cm.

Calcule la longueur $DE$ .

Indice 1

Cette fois, le rapport utile fait intervenir $DE$ et $BC$ .

Indice 2

Écris $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$ .

Voir la correction pas à pas

Les conditions du théorème sont réunies dans le triangle $ABC$ .
On écrit : $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$ .
On remplace : $\frac{2}{5}=\frac{DE}{10}$ .
Produit en croix : $5\times DE=2\times 10=20$ .
Donc $DE=\frac{20}{5}=4$ .

$DE=4$ cm. Le petit triangle est une réduction du grand, au rapport $\frac25$ : $DE$ est bien plus petit que $BC$ .

Exercice 3 Utiliser la somme des longueurs

★★☆Environ 10 min

Dans le triangle $ABC$ , $D$ est sur $[AB]$ , $E$ est sur $[AC]$ et $(DE)\parallel(BC)$ . On donne $DB=6$ cm, $AE=4$ cm et $EC=8$ cm.

Calcule la longueur $AD$ .

Indice 1

Tu ne connais ni $AD$ ni $AB$ , mais tu peux calculer $AC$ .

Indice 2

Pose $AD=x$ . Alors $AB=x+6$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $AC=AE+EC=4+8=12$ cm, car $E$ est sur $[AC]$ .
On pose $AD=x$ . Comme $D$ est sur $[AB]$ , $AB=x+6$ .
Thalès dans le triangle $ABC$ : $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ , soit $\frac{x}{x+6}=\frac{4}{12}=\frac13$ .
Produit en croix : $3x=x+6$ .
On isole $x$ : $2x=6$ , donc $x=3$ .

$AD=3$ cm. Vérification : $AB=9$ cm et $\frac{3}{9}=\frac{4}{12}=\frac13$ , les rapports sont égaux.

Exercice 4 Deux droites qui se croisent entre les points

★★☆Environ 10 min

Les droites $(BD)$ et $(CE)$ se coupent en $A$ , avec $A$ entre $B$ et $D$ et entre $C$ et $E$ . Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles. On donne $AB=4$ cm, $AD=6$ cm et $AC=5$ cm.

Calcule la longueur $AE$ .

Indice 1

Fais un schéma en forme de sablier : deux triangles opposés par le sommet $A$ .

Indice 2

Les rapports sont $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$ .

Voir la correction pas à pas

On repère la configuration : les triangles $ABC$ et $ADE$ ont le sommet $A$ en commun, de part et d'autre de $A$ , avec $(BC)\parallel(DE)$ .
Thalès s'applique avec $B$ et $D$ sur une droite passant par $A$ , $C$ et $E$ sur l'autre : $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$ .
On remplace : $\frac{4}{6}=\frac{5}{AE}$ .
Produit en croix : $4\times AE=6\times 5=30$ .
Donc $AE=\frac{30}{4}=7{,}5$ .

$AE=7{,}5$ cm. Ici le triangle $ADE$ est un agrandissement de $ABC$ , de rapport $\frac{6}{4}=1{,}5$ . Dans cette configuration, le théorème est le même ; seule la figure change d'aspect.

Exercice 5 La hauteur d'un arbre

★★☆Environ 10 min

Pour estimer la hauteur d'un arbre, Inès plante verticalement un bâton de $1{,}5$ m dans l'ombre de l'arbre, à l'endroit exact où le bout de l'ombre du bâton tombe sur le bout de l'ombre de l'arbre. L'ombre du bâton mesure alors $2$ m et celle de l'arbre mesure $14$ m. On suppose le sol plat, le bâton et l'arbre verticaux, et les rayons du soleil parallèles.

Calcule la hauteur de l'arbre.

Indice 1

Dessine deux triangles rectangles : un pour le bâton et son ombre, un pour l'arbre et son ombre.

Indice 2

Le bâton et l'arbre, tous les deux verticaux, jouent le rôle des droites parallèles ; le rayon du soleil qui passe par leurs sommets et le sol sont les deux droites sécantes.

Voir la correction pas à pas

On modélise : le sommet de l'arbre, le pied de l'arbre et le bout de son ombre forment un grand triangle. Le sommet du bâton, son pied et ce même bout d'ombre forment un petit triangle : les deux triangles ont ce point comme sommet commun.
Le bâton et l'arbre sont tous deux perpendiculaires au sol, donc parallèles entre eux : le théorème de Thalès s'applique.
On écrit : $\frac{\text{hauteur du bâton}}{\text{hauteur de l'arbre}}=\frac{\text{ombre du bâton}}{\text{ombre de l'arbre}}$ , soit $\frac{1{,}5}{h}=\frac{2}{14}$ .
Produit en croix : $2\times h=1{,}5\times 14=21$ .
Donc $h=\frac{21}{2}=10{,}5$ .

L'arbre mesure $10{,}5$ m. C'est le raisonnement attribué à Thalès pour la pyramide, selon une légende rapportée par Plutarque ² ; les historiens n'en retiennent toutefois pas l'attribution à Thalès ².

Exercice 6 Périmètre d'un petit triangle

★★★Environ 12 min

Le triangle $ABC$ a pour côtés $AB=10$ cm, $BC=12$ cm et $AC=13$ cm. Le point $D$ est sur $[AB]$ avec $AD=4$ cm. Le point $E$ est sur $[AC]$ et $(DE)\parallel(BC)$ .

Calcule le périmètre du triangle $ADE$ .

Indice 1

Tu n'as pas besoin de calculer chaque côté : le rapport est le même pour les trois.

Indice 2

Le périmètre de $ABC$ vaut $10+12+13$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule le périmètre de $ABC$ : $10+12+13=35$ cm.
Les côtés de $ADE$ sont proportionnels à ceux de $ABC$ ², avec le même rapport $k=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{10}=0{,}4$ .
Les trois côtés de $ADE$ valent donc $0{,}4$ fois les côtés de $ABC$ : $AD=4$ , $AE=0{,}4\times 13=5{,}2$ et $DE=0{,}4\times 12=4{,}8$ .
On additionne : $4+5{,}2+4{,}8=14$ .
Contrôle direct : $0{,}4\times 35=14$ .

Le périmètre de $ADE$ est $14$ cm. Retiens la propriété : quand les côtés sont multipliés par $k$ , le périmètre l'est aussi.

Exercice 7 Une longueur inconnue dans une équation

★★★Environ 12 min

Dans le triangle $ABC$ , $D$ est sur $[AB]$ , $E$ est sur $[AC]$ et $(DE)\parallel(BC)$ . On donne $AD=x$ , $AB=x+3$ , $AE=4$ et $AC=10$ (longueurs en cm).

Détermine la valeur de $x$ .

Indice 1

Écris $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ avec les expressions en $x$ .

Indice 2

Après le produit en croix, regroupe les $x$ du même côté.

Voir la correction pas à pas

Les conditions du théorème sont réunies dans le triangle $ABC$ .
On écrit : $\frac{x}{x+3}=\frac{4}{10}$ .
Produit en croix : $10x=4(x+3)$ .
On développe : $10x=4x+12$ .
On regroupe : $6x=12$ , donc $x=2$ .

$x=2$ cm. Vérification : $AD=2$ , $AB=5$ , et $\frac25=\frac{4}{10}=0{,}4$ .

Exercice 8 Les droites sont-elles parallèles ?

★★★Environ 10 min

Dans le triangle $ABC$ , $D$ est sur $[AB]$ et $E$ est sur $[AC]$ . On donne $AD=3$ cm, $AB=7$ cm, $AE=4$ cm et $AC=9$ cm.

Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifie.

Indice 1

Si elles étaient parallèles, les rapports $\frac{AD}{AB}$ et $\frac{AE}{AC}$ seraient égaux.

Indice 2

Compare les deux fractions avec des produits en croix : $3\times 9$ et $7\times 4$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule les deux rapports : $\frac{AD}{AB}=\frac{3}{7}$ et $\frac{AE}{AC}=\frac{4}{9}$ .
On les compare par produits en croix : $3\times 9=27$ et $7\times 4=28$ .
Comme $27\neq 28$ , les deux rapports sont différents.
On raisonne par l'absurde : si $(DE)$ était parallèle à $(BC)$ , le théorème de Thalès donnerait l'égalité $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ ².
Cette égalité est fausse, donc $(DE)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Les droites ne sont pas parallèles. Le sens direct du théorème permet, par contraposée, de démontrer un non-parallélisme quand l'égalité des rapports n'est pas vérifiée ². Si les rapports avaient été égaux, il aurait fallu la réciproque pour conclure au parallélisme, et non le théorème direct ².

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quels rapports écrire dans le théorème de Thalès ?

Place-toi au sommet commun aux deux triangles (le point $A$ dans ces exercices). Chaque rapport compare une longueur du petit triangle à la longueur correspondante du grand, mesurée sur la même droite : $\frac{AD}{AB}$ sur la droite $(AB)$ , $\frac{AE}{AC}$ sur la droite $(AC)$ , et $\frac{DE}{BC}$ pour les deux côtés parallèles. Les côtés du petit triangle sont proportionnels à ceux du grand ². Un schéma coloré aide beaucoup : une couleur par droite.

Quelle différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?

Le théorème direct part du parallélisme pour en déduire des égalités de rapports, donc des longueurs. La réciproque fait l'inverse : elle part de l'égalité de certains rapports pour conclure que deux droites sont parallèles ². Dans l'exercice 8, on utilise le sens direct par contraposée : des rapports différents prouvent que les droites ne sont pas parallèles ².

Pourquoi parle-t-on aussi de Thalès pour un triangle inscrit dans un demi-cercle ?

En Allemagne et dans plusieurs pays anglophones, « théorème de Thalès » désigne un autre résultat : un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle ². En France, ce nom désigne surtout l'énoncé qui compare des longueurs quand une parallèle à l'un des côtés d'un triangle le traverse ³. Pour le DNB, c'est ce dernier qu'il faut maîtriser.

Sources

Aux sources du théorème du perroquet, Images des mathématiques (CNRS). Consulté le 6 novembre 2026.
Théorème de Thalès, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Thalès, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Théorème de Thalès : exercices corrigés de 3e

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Trouver le grand côté

Exercice 2 Trouver le côté parallèle

Exercice 3 Utiliser la somme des longueurs

Exercice 4 Deux droites qui se croisent entre les points

Exercice 5 La hauteur d'un arbre

Exercice 6 Périmètre d'un petit triangle

Exercice 7 Une longueur inconnue dans une équation

Exercice 8 Les droites sont-elles parallèles ?

Les questions qu'on se pose

Sources

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Collège

Lycée

Supérieur