Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Double distributivité : (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
On obtient quatre produits quand chaque parenthèse contient deux termes. On les écrit tous avant de réduire.
Le signe qui précède un terme voyage avec lui : (x−3) contient les termes x et −3.
On réduit ensuite en regroupant les termes semblables : x2+5x+3x+15 devient x2+8x+15.
Pour contrôler, remplace x par un nombre simple dans l'expression de départ et dans le résultat : les deux valeurs doivent être égales.
Ce que tu sais déjà : la simple distributivité
Tu sais déjà développer une expression comme 3(x+5). Le programme de cycle 4 demande de reconnaître les sommes et les produits, de nommer les termes et les facteurs, puis d'utiliser la distributivité simple sur des exemples numériques 1. Ce cours va un cran plus loin : on développe un produit de deux parenthèses. Le programme l'appelle la double distributivité, et il la relie au développement et à la factorisation d'expressions 1.
La règle de la double distributivité
Prenons le produit (a+b)(c+d). Il contient deux sommes multipliées l'une par l'autre. Pour le développer, on veut le transformer en une somme de produits simples, sans parenthèses.
Démonstration · Pourquoi cette égalité est vraie
On part de (a+b)(c+d) et on pose k=c+d. L'expression devient (a+b)×k.
On applique la simple distributivité, en distribuant k sur a et sur b :
(a+b)k=ak+bk
On remplace maintenant k par c+d :
ak+bk=a(c+d)+b(c+d)
On applique encore la simple distributivité dans chacun des deux morceaux :
a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd
On a donc bien (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. La double distributivité n'est donc pas une règle nouvelle : c'est la simple distributivité, utilisée deux fois.
Une méthode en quatre gestes
Une méthode fixe évite les oublis. Elle marche pour n'importe quelle double distributivité, avec ou sans signes moins.
RepérerNote les termes de chaque parenthèse, avec leur signe.
MultiplierChaque terme de la 1re multiplie chaque terme de la 2e.
ÉcrirePose les quatre produits à la suite.
RéduireRegroupe les termes semblables.
Les gestes pour développer · Les quatre gestes de la double distributivité.
Si tu aimes voir les choses en image, un tableau à double entrée range les quatre produits. On place les termes de la première parenthèse en lignes, ceux de la seconde en colonnes, et chaque case contient un produit. Tu les additionnes ensuite.
Le tableau de (x + 3)(x + 5)
×
x
+5
x
x²
5x
+3
3x
15
Le tableau de (x + 3)(x + 5) · Chaque case est le produit d'un terme de la ligne par un terme de la colonne.
Dans ce tableau pour (x+3)(x+5), la somme des quatre cases est x2+5x+3x+15. On retrouve le résultat x2+8x+15.
Quand il y a des signes moins
Les signes moins causent la majorité des erreurs. Une astuce règle presque tout : une soustraction est une addition d'un nombre négatif. Ainsi x−3 est la somme des termes x et −3. Le signe qui précède un terme fait partie de ce terme, et il voyage avec lui dans chaque produit.
Les erreurs fréquentes à éviter
Un exemple complet et le contrôle numérique
Attention : un contrôle réussi ne prouve pas que le développement est juste, car une erreur peut par hasard donner la même valeur pour un nombre précis. En revanche, un contrôle raté prouve qu'il y a une erreur. Pour être plus sûr, tu peux tester avec deux nombres différents.
À quoi ça sert, et ce qui vient ensuite
La double distributivité sert d'abord à écrire autrement une expression, en la transformant d'un produit en une somme. Elle sert aussi à calculer une aire. Si un rectangle a pour longueur (x+3) et pour largeur (x+2), son aire est (x+3)(x+2)=x2+5x+6. On peut découper ce rectangle en quatre morceaux : un carré de côté x, deux bandes et un petit rectangle. Cela ressemble beaucoup au tableau vu plus haut.
Le programme demande d'utiliser la double distributivité pour développer et pour factoriser des expressions dont le facteur est apparent 1. Factoriser, c'est faire le chemin inverse : tu passes d'une somme à un produit. Tu auras donc besoin de bien maîtriser le développement pour aller à la factorisation. Cette compétence prépare aussi la preuve d'une égalité : pour montrer que deux expressions sont égales, on développe l'une des deux et on retrouve l'autre.
Exercices corrigés
Exercice 1 Développer et contrôler une expression simple
★☆☆Environ 6 min
Développe et réduis A=(x+4)(x+6). Calcule ensuite la valeur de A pour x=2, d'abord avec l'expression de départ.
Indice 1
Écris les quatre produits avant de réduire.
Indice 2
Les termes 6x et 4x sont semblables.
Voir la correction pas à pas
On repère les termes : x et 4 dans la première parenthèse, x et 6 dans la seconde.
On écrit les quatre produits : x×x=x2, x×6=6x, 4×x=4x, 4×6=24.
On additionne : A=x2+6x+4x+24.
On réduit : A=x2+10x+24.
On calcule avec x=2 dans l'expression de départ : A=(2+4)(2+6)=6×8=48.
On contrôle avec le résultat développé : 4+20+24=48. Les deux valeurs sont égales.
A=x2+10x+24, et A=48 pour x=2. Le contrôle numérique confirme le développement.
Exercice 2 Un développement avec un signe moins
★★☆Environ 8 min
Développe et réduis B=(2x−3)(x+5). Calcule ensuite la valeur de B pour x=3.
Indice 1
Le deuxième terme de la première parenthèse est −3, pas 3.
Indice 2
Les termes en x sont 10x et −3x.
Voir la correction pas à pas
On repère les termes : 2x et −3 d'un côté, x et 5 de l'autre.
On écrit les produits : 2x×x=2x2, 2x×5=10x, (−3)×x=−3x, (−3)×5=−15.
On additionne : B=2x2+10x−3x−15.
On réduit : B=2x2+7x−15.
On calcule pour x=3 avec l'expression de départ : B=(2×3−3)(3+5)=3×8=24.
On contrôle avec le résultat : 2×9+7×3−15=18+21−15=24.
B=2x2+7x−15, et B=24 pour x=3.
Exercice 3 L'aire d'un rectangle
★★☆Environ 8 min
Un rectangle a pour longueur (x+3) cm et pour largeur (x+2) cm. Exprime son aire A sous forme développée et réduite, puis calcule-la pour x=4.
Indice 1
L'aire d'un rectangle est longueur × largeur.
Indice 2
Remplace x par 4 à la fin seulement.
Voir la correction pas à pas
On écrit l'aire comme un produit : A=(x+3)(x+2).
On écrit les quatre produits : x×x=x2, x×2=2x, 3×x=3x, 3×2=6.
On additionne et on réduit : A=x2+2x+3x+6=x2+5x+6, en cm².
Pour x=4 avec la forme factorisée : A=(4+3)(4+2)=7×6=42 cm².
On contrôle avec la forme développée : 16+20+6=42 cm².
A=x2+5x+6, soit 42 cm² pour x=4.
Exercice 4 Une parenthèse à trois termes
★★★Environ 10 min
On généralise la méthode : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Développe et réduis C=(3x−2)(2x2−x+4). Contrôle ensuite ton résultat avec x=1.
Indice 1
Il y a deux termes dans la première parenthèse et trois dans la seconde : cela fait six produits.
Indice 2
Regroupe d'abord les termes en x2, puis ceux en x.
Voir la correction pas à pas
On repère les termes : 3x et −2 d'un côté ; 2x2, −x et 4 de l'autre.
On multiplie 3x par chaque terme : 3x×2x2=6x3, 3x×(−x)=−3x2, 3x×4=12x.
On multiplie −2 par chaque terme : (−2)×2x2=−4x2, (−2)×(−x)=2x, (−2)×4=−8.
On additionne les six produits : C=6x3−3x2+12x−4x2+2x−8.
On réduit : −3x2−4x2=−7x2 et 12x+2x=14x, donc C=6x3−7x2+14x−8.
Contrôle pour x=1 : à gauche (3−2)(2−1+4)=1×5=5 ; à droite 6−7+14−8=5.
C=6x3−7x2+14x−8, et C=5 pour x=1.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On écrit x2+3x+2x+6=x2+5x+6. La réponse x2+6 oublie les deux produits croisés 3x et 2x : c'est l'erreur la plus fréquente. Pour x=1, le produit de départ vaut 3×4=12 et 1+5+6=12 : seule la première réponse convient.
On écrit x2+x−4x−4, puis x−4x=−3x, d'où x2−3x−4. La réponse x2+3x−4 vient d'un signe oublié sur le terme −4x. Pour x=2, le produit de départ vaut (−2)×3=−6 et 4−6−4=−6.
Chaque terme de la première parenthèse (a et b) multiplie chaque terme de la seconde (c et d) : ac, ad, bc, bd. Il y en a 2×2=4. Dire 2 revient à n'écrire que ac et bd et à oublier les produits croisés.
Elle est fausse. (x+5)2=(x+5)(x+5)=x2+5x+5x+25=x2+10x+25. Avec x=1, on a 62=36, alors que 1+25=26. Le terme 10x ne peut pas être oublié.
On écrit 6x2+4x−3x−2, donc 6x2+x−2. La réponse 6x2−x−2 vient d'une erreur de signe sur −3x. Contrôle avec x=1 : (1)(5)=5 et 6+1−2=5.
On calcule (20+1)(20−1)=400−20+20−1=399. Les produits croisés −20 et +20 s'annulent. Retenir 400−1=399 est correct ; répondre 400 revient à oublier le produit 1×(−1).
Produits : (−x)×x=−x2, (−x)×(−3)=3x, 2×x=2x, 2×(−3)=−6. On réduit : −x2+5x−6. La réponse −x2+5x+6 se trompe de signe sur le dernier produit. Pour x=0, le produit de départ vaut 2×(−3)=−6.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi faut-il toujours quatre produits ?
Parce que chaque terme de la première parenthèse doit être multiplié par chaque terme de la seconde. Avec deux termes dans chacune, cela fait 2×2=4 produits. Si tu en écris moins, tu as oublié un morceau du résultat, et le contrôle numérique le montrera.
Comment gérer un signe moins devant un terme ?
Considère le signe comme faisant partie du terme. Dans (x−3), les termes sont x et −3. Quand tu multiplies, applique la règle des signes : deux signes moins donnent un plus, un seul donne un moins. Écrire les produits avec leurs signes entre parenthèses évite les erreurs.
Dois-je utiliser un tableau ou la méthode en ligne ?
Les deux donnent le même résultat. Le tableau rassure au début, car il montre les quatre cases. La méthode en ligne va plus vite quand tu es à l'aise. Choisis celle qui te fait oublier le moins de produits.
Comment être sûr de mon développement ?
Remplace x par un petit nombre (comme 2) dans l'expression de départ puis dans le résultat. Si les deux valeurs diffèrent, il y a une erreur. Si elles sont égales, le résultat est probablement juste : teste un second nombre pour être plus sûr.
À quoi sert la double distributivité ensuite ?
Elle sert à développer, mais aussi à comprendre la factorisation, qui est le chemin inverse 1. Elle aide également à prouver des égalités entre expressions. Elle permet aussi de calculer des aires et de faire du calcul mental astucieux.