Double distributivité : exercices corrigés de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ , soit quatre produits à écrire.
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, signes compris.
Après avoir développé, on réduit : on regroupe les termes en $x$ et les nombres seuls.
Vérifie toujours en remplaçant $x$ par une valeur simple dans l'expression de départ et dans le résultat.

Comment utiliser ces exercices

Au cycle 4, le programme demande d'utiliser la double distributivité pour développer et pour factoriser des expressions dont le facteur est apparent. ¹ Ici, tu t'entraînes à la première partie : développer. Les exercices vont du plus simple (tous les signes sont des plus) au plus délicat (signes négatifs, coefficients devant $x$ , comparaison de deux expressions).

Conseils pour bien réussir

Les exercices

Exercice 1 Deux plus, un produit

★☆☆Environ 4 min

Développe puis réduis $A = (x+3)(x+5)$ . Calcule ensuite la valeur de $A$ pour $x = 2$ .

Indice 1

Écris les quatre produits : $x \times x$ , $x \times 5$ , $3 \times x$ , $3 \times 5$ .

Indice 2

Pour contrôler, calcule aussi $(2+3)(2+5)$ directement.

Voir la correction pas à pas

On écrit les quatre produits : $A = x \times x + x \times 5 + 3 \times x + 3 \times 5$ .
On calcule chacun : $A = x^2 + 5x + 3x + 15$ .
On réduit les termes en $x$ : $5x + 3x = 8x$ , donc $A = x^2 + 8x + 15$ .
Pour $x = 2$ : $A = 4 + 16 + 15 = 35$ .
Contrôle sur la forme de départ : $(2+3)(2+5) = 5 \times 7 = 35$ . Les deux résultats concordent.

Quand tous les signes sont positifs, il n'y a pas de piège : les quatre produits s'additionnent simplement.

Exercice 2 Un nombre négatif dans la seconde parenthèse

★☆☆Environ 5 min

Développe puis réduis $B = (a+4)(a-2)$ . Calcule la valeur de $B$ pour $a = 3$ .

Indice 1

Le second terme de la deuxième parenthèse est $-2$ .

Indice 2

$4 \times (-2) = -8$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit les quatre produits : $B = a \times a + a \times (-2) + 4 \times a + 4 \times (-2)$ .
On calcule : $B = a^2 - 2a + 4a - 8$ .
On réduit : $-2a + 4a = 2a$ , donc $B = a^2 + 2a - 8$ .
Pour $a = 3$ : $B = 9 + 6 - 8 = 7$ .
Contrôle : $(3+4)(3-2) = 7 \times 1 = 7$ .

Un produit d'un positif par un négatif est négatif : le signe moins de $-2$ se retrouve dans $-2a$ et dans $-8$ .

Exercice 3 Deux signes moins

★★☆Environ 6 min

Développe puis réduis $C = (x-5)(x-4)$ . Calcule la valeur de $C$ pour $x = 10$ .

Indice 1

Attention : $(-5) \times (-4)$ est positif.

Indice 2

Les deux termes en $x$ sont $-4x$ et $-5x$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit : $C = x \times x + x \times (-4) + (-5) \times x + (-5) \times (-4)$ .
On calcule : $C = x^2 - 4x - 5x + 20$ .
On réduit : $-4x - 5x = -9x$ , donc $C = x^2 - 9x + 20$ .
Pour $x = 10$ : $C = 100 - 90 + 20 = 30$ .
Contrôle : $(10-5)(10-4) = 5 \times 6 = 30$ .

Un produit de deux négatifs est positif : le terme constant est $+20$ et non $-20$ .

Exercice 4 Un coefficient devant x

★★☆Environ 6 min

Développe puis réduis $D = (2x+1)(x+6)$ . Quel est le coefficient du terme en $x$ dans la forme réduite ?

Indice 1

Deux produits donnent un terme en $x$ : $2x \times 6$ et $1 \times x$ .

Indice 2

Additionne ensuite les deux coefficients.

Voir la correction pas à pas

On écrit : $D = 2x \times x + 2x \times 6 + 1 \times x + 1 \times 6$ .
On calcule : $D = 2x^2 + 12x + x + 6$ .
On réduit : $12x + x = 13x$ , donc $D = 2x^2 + 13x + 6$ .
Le coefficient du terme en $x$ est $13$ .
Contrôle avec $x = 1$ : $(2+1)(1+6) = 21$ et $2 + 13 + 6 = 21$ .

N'oublie pas que $1 \times x$ vaut $x$ , donc $1x$ : ce terme compte dans la réduction.

Exercice 5 Calcul mental astucieux

★★☆Environ 6 min

Sans poser la multiplication, calcule $23 \times 17$ en écrivant $23 = 20 + 3$ et $17 = 10 + 7$ puis en utilisant la double distributivité.

Indice 1

Écris $(20+3)(10+7)$ .

Indice 2

Quatre produits : $20 \times 10$ , $20 \times 7$ , $3 \times 10$ , $3 \times 7$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit : $23 \times 17 = (20+3)(10+7)$ .
On développe : $20 \times 10 + 20 \times 7 + 3 \times 10 + 3 \times 7$ .
On calcule chaque produit : $200 + 140 + 30 + 21$ .
On additionne : $200 + 140 = 340$ , puis $340 + 30 = 370$ , puis $370 + 21 = 391$ .
Donc $23 \times 17 = 391$ .

La double distributivité n'est pas réservée au calcul littéral : elle explique aussi les multiplications posées.

Exercice 6 Aire d'un rectangle

★★☆Environ 7 min

Un rectangle a pour longueur $(x+5)$ cm et pour largeur $(x+2)$ cm. a) Exprime son aire sous forme développée et réduite. b) Calcule cette aire pour $x = 3$ (réponds en cm²).

Indice 1

L'aire est le produit de la longueur par la largeur.

Indice 2

Contrôle : pour $x=3$ , la longueur vaut 8 cm et la largeur 5 cm.

Voir la correction pas à pas

Aire $= (x+5)(x+2)$ .
On développe : $x \times x + x \times 2 + 5 \times x + 5 \times 2 = x^2 + 2x + 5x + 10$ .
On réduit : l'aire est $x^2 + 7x + 10$ (en cm²).
Pour $x = 3$ : $9 + 21 + 10 = 40$ .
Contrôle : $8 \times 5 = 40$ . L'aire vaut $40$ cm².

La forme développée et la forme factorisée donnent la même aire : on choisit celle qui sert le mieux le calcul.

Exercice 7 Deux coefficients et des signes mêlés

★★★Environ 8 min

Développe puis réduis $E = (3x-2)(2x-7)$ . Calcule la valeur de $E$ pour $x = 4$ .

Indice 1

Les quatre produits sont $3x \times 2x$ , $3x \times (-7)$ , $(-2) \times 2x$ et $(-2) \times (-7)$ .

Indice 2

$3x \times 2x = 6x^2$ : on multiplie les nombres entre eux et $x$ par $x$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit : $E = 3x \times 2x + 3x \times (-7) + (-2) \times 2x + (-2) \times (-7)$ .
On calcule : $E = 6x^2 - 21x - 4x + 14$ .
On réduit : $-21x - 4x = -25x$ , donc $E = 6x^2 - 25x + 14$ .
Pour $x = 4$ : $E = 96 - 100 + 14 = 10$ .
Contrôle : $(12-2)(8-7) = 10 \times 1 = 10$ .

Prends le temps d'écrire les quatre produits avant de calculer : la plupart des erreurs viennent d'un produit sauté ou d'un signe perdu.

Exercice 8 Comparer deux produits

★★★Environ 9 min

Soit $F = (x+2)(x+3) - (x+1)(x+4)$ . Développe chaque produit, puis réduis $F$ . Que remarques-tu ? Donne la valeur de $F$ .

Indice 1

Entoure le second produit de parenthèses quand tu le développes : le signe moins s'applique à tout le résultat.

Indice 2

Calcule séparément $(x+2)(x+3)$ puis $(x+1)(x+4)$ .

Voir la correction pas à pas

Premier produit : $(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$ .
Second produit : $(x+1)(x+4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$ .
On soustrait : $F = (x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 5x + 4)$ .
On enlève les parenthèses en changeant les signes : $F = x^2 + 5x + 6 - x^2 - 5x - 4$ .
On réduit : $x^2 - x^2 = 0$ , $5x - 5x = 0$ et $6 - 4 = 2$ , donc $F = 2$ .
Contrôle avec $x = 1$ : $3 \times 4 - 2 \times 5 = 12 - 10 = 2$ .

Le résultat ne dépend pas de $x$ : $F$ vaut toujours 2. Développer permet de le prouver pour toutes les valeurs de $x$ , ce qu'un test numérique ne fait pas.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si mon développement est juste ?

Remplace $x$ par un nombre simple (1, 2 ou 10) dans l'expression de départ, puis dans ton résultat. Si les deux valeurs diffèrent, il y a une erreur. Si elles sont égales, le résultat est très probablement bon. Évite $x = 0$ , qui cache les erreurs sur les termes en $x$ .

Pourquoi y a-t-il quatre produits et pas deux ?

Chaque parenthèse contient deux termes, et chaque terme de la première doit multiplier chaque terme de la seconde. Cela fait $2 \times 2 = 4$ produits : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ . Avec la simple distributivité, un seul facteur est distribué ; ici, on la répète deux fois.

Que faire quand un signe moins précède une parenthèse développée ?

Développe d'abord le produit, mets le résultat entre parenthèses, puis change le signe de chaque terme en enlevant les parenthèses. Par exemple $-(x^2 + 5x + 4) = -x^2 - 5x - 4$ . C'est l'étape qui piège le plus souvent dans l'exercice de comparaison.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 · Ministère de l'Éducation nationale

Programme de mathématiques pour le cycle 4, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Activité 1 : Écrire une expression littérale (Manuel Sesamath), Sesamath. Consulté le 12 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Double distributivité : exercices corrigés de 4e

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Conseils pour bien réussir

Les exercices

Exercice 1 Deux plus, un produit

Exercice 2 Un nombre négatif dans la seconde parenthèse

Exercice 3 Deux signes moins

Exercice 4 Un coefficient devant x

Exercice 5 Calcul mental astucieux

Exercice 6 Aire d'un rectangle

Exercice 7 Deux coefficients et des signes mêlés

Exercice 8 Comparer deux produits

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur