Puissances d'exposant entier : cours de 4e

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une puissance $a^n$ note une multiplication répétée : le nombre $a$ apparaît $n$ fois comme facteur ².
Le carré et le cube sont les puissances d'exposant 2 et 3 ².
Un nombre positif a toujours une puissance positive ; pour un nombre négatif, le signe dépend de la parité de l'exposant ².
Quand l'exposant est positif, diviser par la base fait baisser l'exposant de 1 ; cela mène à $a^1=a$ , $a^0=1$ et aux exposants négatifs ¹.
Attention : $-3^2$ et $(-3)^2$ ne sont pas le même nombre.

Pourquoi inventer les puissances ?

Tu connais déjà la multiplication, qui sert à écrire une addition répétée : $4+4+4+4+4$ devient $5\times 4$ . Mais que faire quand c'est la multiplication qui se répète ? Écrire $2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2$ est long, et il est facile de se tromper en comptant les facteurs.

Les mathématiciens ont donc choisi une écriture courte : on écrit le nombre, et on place à sa droite, en petit et en haut, combien de fois il apparaît comme facteur. C'est ce qu'on appelle une puissance. Les puissances servent partout : pour désigner des aires et des volumes, pour décrire des quantités qui doublent à chaque étape, et plus tard pour écrire de très grands ou de très petits nombres en sciences.

Dans ce cours, tu vas apprendre à lire une puissance, à la calculer, à prévoir son signe, puis à comprendre pourquoi on peut aussi écrire des exposants comme 0, 1 ou négatifs. Les puissances de 10, la notation scientifique et les règles de calcul sont les chapitres qui suivent : ici, on pose les bases.

Définition d'une puissance

Carrés et cubes

Deux puissances ont un nom particulier. Le carré est la puissance d'exposant 2, et le cube la puissance d'exposant 3 ². Ces noms viennent de la géométrie : l'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$ , et le volume d'un cube d'arête $c$ vaut $c^3$ .

Le signe d'une puissance

Pourquoi ? Souviens-toi qu'un produit de deux nombres négatifs est positif. Dans $(-2)^4=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)$ , on forme des paires de facteurs négatifs : chaque paire donne un positif, et il y a deux paires. Le résultat est $+16$ . Avec cinq facteurs, il reste un facteur négatif sans partenaire : $(-2)^5=-32$ .

Une façon simple de retenir : on compte les facteurs négatifs. Un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif, un nombre impair donne un produit négatif.

Les exposants 1 et 0 : une idée qui se construit

Jusqu'ici, l'exposant valait au moins 2, car il faut au moins deux facteurs pour parler de multiplication répétée. C'est d'ailleurs pour cette raison qu'on commence par définir les puissances d'exposant supérieur ou égal à deux ¹. Les exposants 0 et 1, ainsi que les exposants négatifs, demandent un raisonnement de plus : on les introduit progressivement ¹.

MéthodeDescendre l'escalier des exposants

Pour une puissance d'exposant positif, diviser par la base revient à diminuer l'exposant d'une unité ¹. Voyons-le avec la base $2$ :

Puissance	Valeur
$2^4$	$16$
$2^3$	$8$
$2^2$	$4$

Chaque ligne vers le bas, on divise par 2 et l'exposant baisse de 1. Si on veut que cette règle continue de fonctionner, il faut poursuivre l'escalier :

Puissance	Valeur
$2^1$	$4\div 2 = 2$
$2^0$	$2\div 2 = 1$

Les exposants négatifs

Continuons l'escalier au-delà de $2^0$ . On divise encore par $2$ à chaque marche :

Puissance	Valeur
$2^0$	$1$
$2^{-1}$	$1\div2=\dfrac{1}{2}$
$2^{-2}$	$\dfrac12\div2=\dfrac14$
$2^{-3}$	$\dfrac14\div2=\dfrac18$

On voit apparaître un motif : $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}$ . La puissance d'un nombre non nul se généralise ainsi à tout exposant entier relatif, c'est-à-dire positif, nul ou négatif ². Notons que les exposants négatifs, à commencer par ceux des puissances de dix, arrivent en fin de 4e ou en début de 3e dans la progression du cycle 4 ¹.

Méthode générale et erreurs à éviter

Exercices corrigés

Exercice 1 Signes et parenthèses

★☆☆Environ 8 min

Calcule $B=(-3)^4+2^5$ puis compare avec $C=-3^4+2^5$ .

Indice 1

Pour $(-3)^4$ , compte les facteurs négatifs : combien y en a-t-il ?

Indice 2

Dans $-3^4$ , l'exposant ne s'applique qu'au nombre $3$ .

Voir la correction pas à pas

On développe $(-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)$ . Il y a quatre facteurs négatifs, un nombre pair : le résultat est positif, $(-3)^4=81$ .
On calcule $2^5=2\times2\times2\times2\times2=32$ .
On additionne : $B=81+32=113$ .
Pour $C$ , l'exposant porte seulement sur $3$ : $3^4=81$ , donc $-3^4=-81$ .
On additionne : $C=-81+32=-49$ . Les deux résultats sont différents : $B=113$ et $C=-49$ .

Les parenthèses autour d'une base négative changent le résultat : $B=113$ alors que $C=-49$ .

Exercice 2 Des bactéries qui doublent

★★☆Environ 10 min

Dans une culture, on part de $3$ bactéries. Leur nombre double toutes les heures. Écris le nombre de bactéries au bout de $6$ heures sous la forme $3\times2^n$ , puis calcule-le.

Indice 1

Après 1 heure, il y a $3\times2$ ; après 2 heures, $3\times2\times2$ .

Indice 2

Compte combien de fois on multiplie par 2 en 6 heures.

Voir la correction pas à pas

Chaque heure, on multiplie par $2$ . Après 6 heures, on a multiplié 6 fois par $2$ .
Le nombre de bactéries s'écrit donc $3\times2\times2\times2\times2\times2\times2=3\times2^6$ .
On calcule $2^6=64$ (en doublant : $2,4,8,16,32,64$ ).
On multiplie : $3\times64=192$ .

Au bout de 6 heures, la culture compte $192$ bactéries, soit $3\times2^6$ .

Exercice 3 Exposants 0 et négatifs

★★★Environ 10 min

Calcule $D=5^{-2}+7^0+(-2)^3$ et donne le résultat sous forme décimale.

Indice 1

Utilise $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$ pour le premier terme.

Indice 2

Une puissance d'exposant 0 vaut 1 quand la base n'est pas nulle.

Voir la correction pas à pas

Premier terme : $5^{-2}=\dfrac1{5^2}=\dfrac1{25}=0{,}04$ .
Deuxième terme : $7^0=1$ , car la base est non nulle.
Troisième terme : $(-2)^3=-8$ (exposant impair, résultat négatif).
On additionne : $D=0{,}04+1-8=-6{,}96$ .

On trouve $D=-6{,}96$ . Le premier terme est petit mais positif ; le signe négatif vient de $(-2)^3$ .

Les questions qu'on se pose

Pourquoi $a^0$ vaut-il 1 et pas 0 ?

Parce qu'on veut garder la règle selon laquelle, pour un exposant positif, diviser par la base fait baisser l'exposant de 1 ¹. Avec la base 3 : $3^2=9$ , $3^1=3$ , puis $3^0=3\div3=1$ . Le 0 de l'exposant dit seulement qu'il n'y a plus aucun facteur : on obtient le résultat neutre de la multiplication, qui est 1.

Comment savoir si une puissance est positive ou négative ?

Regarde d'abord la base. Si elle est positive, le résultat est positif ². Si elle est négative, regarde la parité de l'exposant : pair donne positif, impair donne négatif ². Le signe d'un éventuel exposant négatif n'a aucune influence sur le signe du résultat.

Quelle différence entre $(-5)^2$ et $-5^2$ ?

Dans $(-5)^2$ , la base est $-5$ : on calcule $(-5)\times(-5)=25$ . Dans $-5^2$ , la base est $5$ et le signe moins est appliqué après : $-(5\times5)=-25$ . À l'écrit, mets toujours les parenthèses pour une base négative, car c'est une erreur très souvent sanctionnée.

À quoi servent les puissances ?

Elles raccourcissent les écritures de multiplications répétées, calculent les aires (carré) et volumes (cube), et décrivent des quantités qui doublent ou triplent à chaque étape. Plus tard, elles servent à écrire de très grands ou très petits nombres avec les puissances de 10 et la notation scientifique, puis à construire les fonctions polynomiales ³.

Peut-on calculer $0^0$ ou une puissance négative de 0 ?

Au collège, on ne les utilise pas. La généralisation aux exposants entiers relatifs concerne les nombres non nuls ². Un exposant négatif demande de diviser par la puissance de la base ; or on ne peut pas diviser par 0, donc $0^{-2}$ n'a pas de sens.

Sources

Cours puissances – 4ème – Cycle 4, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Puissance d'un nombre, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Fonction puissance, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Pourquoi inventer les puissances ?

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