Le théorème de Pythagore : cours de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Quand un triangle a un angle droit, le côté opposé à cet angle (l'hypoténuse), élevé au carré, donne le même nombre que l'addition des carrés des deux autres côtés. ³
Avec les lettres du triangle ABC rectangle en A : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ . L'hypoténuse est toujours seule d'un côté de l'égalité.
Le théorème exige un angle droit : sans angle droit, on ne peut pas l'écrire.
Le triplet (3, 4, 5) est l'exemple classique : $3^2 + 4^2 = 5^2$ . ⁴
Le programme de 4e demande de connaître le théorème, sa réciproque et sa contraposée, et de s'en servir pour démontrer. ¹

Un théorème très ancien

Le théorème de Pythagore est l'un des résultats les plus célèbres de la géométrie. Tu vas le rencontrer très souvent, au collège puis au lycée. Il relie les longueurs des trois côtés d'un triangle qui possède un angle droit. ⁴

En 4e, le programme demande de connaître ce théorème, mais aussi sa réciproque et sa contraposée, et de mener un travail de logique sur ces deux dernières. ¹ Il demande aussi de l'utiliser pour démontrer des résultats de géométrie plane. ² Ce cours pose les bases : le vocabulaire, l'énoncé, une preuve et la façon de rédiger. Calculer une longueur, la réciproque et la contraposée font l'objet des chapitres suivants.

Malgré son nom, le théorème ne date pas de Pythagore. Pythagore vivait au VIe siècle avant notre ère, mais l'histoire de cette relation commence plus de mille ans plus tôt : des tablettes d'argile de la période paléo-babylonienne en témoignent. ⁴ Selon une autre source, les Égyptiens et les Mésopotamiens connaissaient déjà le théorème, mais on ne l'avait probablement jamais démontré dans le bassin méditerranéen avant les Grecs. ⁵

Pythagore serait né vers 580 av. J.-C. à Samos, une île de la mer Égée, et mort vers 495 av. J.-C. ⁵ Son nom reste attaché au théorème, et les écoliers qui l'étudient aujourd'hui se placent dans sa lignée. ⁵

Le vocabulaire du triangle rectangle

Triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5 · Le triangle ABC est rectangle en A : l'hypoténuse est [BC].

L'énoncé du théorème

Lis bien la phrase : elle parle de longueurs élevées au carré. Le carré d'un nombre est ce nombre multiplié par lui-même. Ainsi, pour une longueur de 5 cm, on écrit $5^2 = 5 \times 5 = 25$ .

L'égalité dit que l'hypoténuse, élevée au carré, est « à elle seule » aussi grande que les deux autres côtés élevés au carré et additionnés.

Comprendre pourquoi l'égalité est vraie

Un théorème se démontre. Voici une preuve par les aires : elle ne demande que des carrés et des triangles. Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème. ³ La preuve ci-dessous est construite pas à pas pour toi.

Démonstration · Une preuve par les aires

On part d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $a$ et $b$ , et dont l'hypoténuse mesure $c$ .

Étape 1. On construit un grand carré de côté $a + b$ . Son aire est $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Étape 2. À l'intérieur de ce grand carré, on place quatre copies du triangle, une dans chaque coin, de façon que leurs hypoténuses forment un carré incliné au centre. Ce carré central a pour côté $c$ : son aire est $c^2$ .

Étape 3. Chaque triangle a pour aire $\dfrac{ab}{2}$ . Les quatre triangles ont donc une aire totale de $4 \times \dfrac{ab}{2} = 2ab$ .

Étape 4. L'aire du grand carré est la somme des aires du carré central et des quatre triangles :

$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$

Étape 5. On retire $2ab$ des deux côtés :

$a^2 + b^2 = c^2$

C'est exactement le théorème de Pythagore.

Rédiger une utilisation du théorème

Le triangleNommer le triangle et préciser où est l'angle droit.
Le théorèmeÉcrire : d'après le théorème de Pythagore.
L'égalitéÉcrire l'égalité avec les lettres du triangle.
Le calculCalculer, revenir à la longueur, conclure avec l'unité.

Rédiger avec le théorème de Pythagore

Les erreurs fréquentes

Pour aller plus loin : repère et réciproque

Le théorème de Pythagore ne sert pas seulement pour les triangles dessinés. Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points se calcule grâce à lui à partir de leurs coordonnées. ⁴ Tu verras cette formule plus tard : elle consiste à construire un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment cherché.

La réciproque affirme que si les longueurs des côtés vérifient l'égalité, le triangle est rectangle. Une idée de preuve consiste à construire un triangle rectangle ayant les mêmes côtés de l'angle droit que le triangle de départ. Le théorème donne alors la longueur de son hypoténuse, et les deux triangles ont leurs trois côtés égaux deux à deux. L'angle du triangle initial est donc droit lui aussi. ⁴

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer une hypoténuse

★☆☆Environ 5 min

Le triangle ABC est rectangle en A, avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calcule la longueur $BC$ .

Indice 1

Repère d'abord l'hypoténuse : quel côté est en face de l'angle droit ?

Voir la correction pas à pas

Le triangle ABC est rectangle en A, donc son hypoténuse est $[BC]$ .
D'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
On remplace : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ .
$BC$ est le nombre positif dont le carré vaut 100 : $BC = 10$ cm.

La longueur $BC$ mesure 10 cm. Les côtés 6, 8 et 10 sont ceux du triplet (3, 4, 5) multipliés par 2.

Exercice 2 Diagonale d'un rectangle

★★☆Environ 8 min

Un rectangle mesure 20 cm de long et 15 cm de large. Calcule la longueur de sa diagonale.

Indice 1

Une diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles.

Indice 2

Les côtés du rectangle sont les côtés de l'angle droit.

Voir la correction pas à pas

On nomme le rectangle ABCD. Le triangle ABC est rectangle en B, car un rectangle a quatre angles droits. Son hypoténuse est $[AC]$ .
D'après le théorème de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2$ .
On remplace : $AC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$ .
Comme $25 \times 25 = 625$ , on obtient $AC = 25$ cm.

La diagonale du rectangle mesure 25 cm.

Exercice 3 Une échelle contre un mur

★★★Environ 10 min

Une échelle est posée contre un mur vertical sur un sol horizontal. Son pied est à 5 m du mur et son sommet touche le mur à 12 m de hauteur. Quelle est la longueur de l'échelle ?

Indice 1

Fais un schéma : le mur et le sol forment un angle droit.

Indice 2

L'échelle est le côté en face de l'angle droit.

Voir la correction pas à pas

Le mur est vertical et le sol horizontal : le triangle formé par le pied de l'échelle, le pied du mur et le sommet de l'échelle est rectangle au pied du mur.
L'échelle est l'hypoténuse de ce triangle. Appelons sa longueur $L$ .
D'après le théorème de Pythagore : $L^2 = 5^2 + 12^2$ .
On calcule : $L^2 = 25 + 144 = 169$ .
Comme $13 \times 13 = 169$ , on obtient $L = 13$ m.

L'échelle mesure 13 m. Les nombres 5, 12 et 13 forment un autre triplet pythagoricien.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quel côté est l'hypoténuse ?

Cherche le sommet de l'angle droit. L'hypoténuse est le côté qui ne touche pas ce sommet. C'est aussi le plus long des trois côtés. Si ton triangle est rectangle en A, l'hypoténuse est $[BC]$ .

Pourquoi le théorème porte-t-il le nom de Pythagore s'il existait avant lui ?

Le nom est resté attaché à Pythagore, philosophe né vers 580 av. J.-C. ⁵ Pourtant, la relation était connue bien avant lui : des tablettes d'argile babyloniennes en témoignent, plus de mille ans plus tôt. ⁴ Ce nom est donc une tradition, pas une preuve que Pythagore l'a découvert.

Faut-il apprendre le théorème par cœur ?

Oui, l'énoncé doit être su, car le programme demande de le connaître. ¹ Pour ne pas te tromper, retiens-le sous la forme « l'hypoténuse au carré vaut la somme des carrés des deux autres côtés », puis écris-le avec les lettres du triangle de l'exercice.

Peut-on utiliser le théorème si le triangle n'est pas dessiné rectangle ?

Seulement si l'énoncé dit qu'il est rectangle, ou si tu peux le justifier (par exemple parce que c'est la moitié d'un rectangle). Un angle qui a l'air droit sur la figure ne suffit jamais : on ne mesure pas à l'œil. C'est pourquoi la réciproque, étudiée dans un chapitre suivant, a un rôle à part.

Quelle différence entre le théorème et sa réciproque ?

Le théorème dit : angle droit, donc relation entre les carrés des longueurs. La réciproque dit : relation entre les carrés, donc angle droit. Le programme de 4e demande d'étudier les deux, ainsi que la contraposée. ¹

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 · Ministère de l'Éducation Nationale

Programme de mathématiques pour le cycle 4, Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 12 novembre 2026.
Attendus de fin d'année - Mathématiques 4e, Éduscol. Consulté le 12 novembre 2026.
Le théorème de Pythagore : un petit guide, Images des Maths - CNRS. Consulté le 12 novembre 2026.
Théorème de Pythagore, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.
Pythagore, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.

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Un théorème très ancien

Le vocabulaire du triangle rectangle

L'énoncé du théorème

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