Cercle circonscrit et triangle rectangle : cours de 4e
Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le cercle circonscrit à un triangle passe par ses trois sommets ; son centre est le point de concours des médiatrices.3
Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse : l'hypoténuse est un diamètre.24
La médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.4
Réciproque : un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle (angle droit au troisième sommet).12
Autre réciproque : quand un segment joint un sommet au milieu du côté opposé et qu'il est long comme la moitié de ce côté, le triangle est rectangle ; ce côté est alors l'hypoténuse.2
Pour rédiger : cite la propriété, vérifie ses hypothèses, conclus avec les bons noms de points.
Pour démarrer
Tu connais déjà les triangles rectangles et le théorème de Pythagore. Dans ce chapitre, on regarde un triangle rectangle sous un autre angle : celui du cercle qui passe par ses trois sommets.
Un lien très simple unit ces deux objets. Dans un triangle rectangle, le cercle circonscrit se construit presque sans calcul, parce que son centre est déjà tracé : c'est le milieu du plus grand côté. Cette idée sert à deux choses. D'abord, elle permet de calculer une longueur (un rayon, une médiane) sans rien mesurer. Ensuite, elle permet de prouver qu'un angle est droit, ce qui est souvent la vraie difficulté d'un exercice de géométrie.
Pour bien suivre, rappelle-toi la droite des milieux, qui servira dans la démonstration. Tu retrouveras aussi le vocabulaire des médianes et des médiatrices.
Le cercle circonscrit à un triangle
Le mot « non aplati » signifie que les trois sommets ne sont pas alignés. Si trois points sont sur une même droite, aucun cercle ne passe par eux, donc la question ne se pose pas. Dès que le triangle existe vraiment, le cercle existe, et il est unique.
Pourquoi les médiatrices ? Rappelle-toi qu'un point de la médiatrice d'un segment est à égale distance des deux extrémités de ce segment. Le centre O doit être à la même distance de A, de B et de C. Il doit donc être sur la médiatrice de [AB] et sur celle de [AC]. Leur point d'intersection convient, et le rayon du cercle est la distance OA, égale à OB et à OC.
Rappel : le triangle rectangle
Dans ce chapitre, on utilise Pythagore comme outil de calcul quand il faut trouver un côté. Mais la nouveauté, c'est une propriété qui relie l'hypoténuse au cercle circonscrit. Elle te donne une seconde route pour justifier qu'un triangle est rectangle ou pour trouver une longueur.
Cercle circonscrit d'un triangle rectangle
Ces deux énoncés disent la même chose sous deux formes. Si M est le milieu de l'hypoténuse [BC] d'un triangle rectangle en A, alors M est à égale distance de A, de B et de C. Donc MA=MB=MC, et comme MB=MC=2BC, on obtient MA=2BC.
Triangle rectangle et cercle circonscrit · Le cercle de centre M, milieu de l'hypoténuse [BC], passe par A, B et C.
Démonstration de la propriété directe
Une propriété qu'on comprend est plus facile à retenir. Voici pourquoi le milieu de l'hypoténuse est équidistant des trois sommets. Elle repose sur la droite des milieux.
Démonstration · Pourquoi $MA = MB = MC$
Soit ABC un triangle rectangle en A. Soit M le milieu de [BC] et N le milieu de [AB].
1. Dans le triangle ABC, la droite (MN) passe par les milieux de deux côtés. D'après la droite des milieux, (MN) est parallèle au troisième côté (AC).
2. Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, puisque l'angle en A est droit. Comme (MN)∥(AC), la droite (MN) est aussi perpendiculaire à (AB).
3. La droite (MN) est donc perpendiculaire à [AB] et passe par son milieu N : c'est la médiatrice de [AB].
4. Le point M est sur cette médiatrice, donc MA=MB.
5. Comme M est le milieu de [BC], on a MB=MC. Ainsi MA=MB=MC.
Le point M est à la même distance des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit, et AM=2BC.
Les réciproques : prouver qu'un triangle est rectangle
La propriété directe part d'un angle droit pour arriver au cercle. Les réciproques font le trajet inverse : elles partent d'un cercle ou d'une médiane, et prouvent qu'un angle est droit. C'est ce qu'on utilise le plus souvent pour démontrer.
Rédiger une démonstration sans se tromper
DonnéesRelève ce que dit l'énoncé.
PropriétéCite l'énoncé exact utilisé.
HypothèsesVérifie chaque condition.
ConclusionÉcris une phrase avec les points.
Plan de rédaction d'une démonstration
Pour aller plus loin dans les raisonnements
Les deux propriétés se combinent avec d'autres outils du programme. Trois exemples de situations fréquentes sont à connaître.
Récapitulatif à retenir
Exercices corrigés
Exercice 1 Rayon du cercle circonscrit
★☆☆Environ 5 min
Le triangle ABC est rectangle en A et son hypoténuse [BC] mesure 13 cm. Quel est le rayon du cercle circonscrit à ABC ?
Indice 1
Où se trouve le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle ?
Indice 2
Le rayon est la distance entre ce centre et un sommet.
Voir la correction pas à pas
Le triangle est rectangle en A, donc l'hypoténuse est [BC] et son milieu M est le centre du cercle circonscrit.
L'hypoténuse est un diamètre du cercle : le diamètre vaut 13 cm.
Le rayon est la moitié du diamètre : 213=6,5 cm.
Le cercle circonscrit a pour rayon 6,5 cm, et son centre est le milieu de [BC].
Exercice 2 Médiane issue de l'angle droit
★★☆Environ 8 min
Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB=6 cm et AC=8 cm. Le point M est le milieu de [BC]. Calcule la longueur AM.
Indice 1
Commence par calculer l'hypoténuse avec le théorème de Pythagore.
Indice 2
La médiane issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse.
Voir la correction pas à pas
Le triangle ABC est rectangle en A : par Pythagore, BC2=62+82=36+64=100.
Donc BC=100=10 cm.
Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.
Ainsi AM=210=5 cm.
On trouve AM=5 cm, qui est aussi le rayon du cercle circonscrit à ABC.
Exercice 3 Démontrer puis calculer
★★★Environ 12 min
Dans le triangle EFG, le point K est le milieu de [FG]. On donne FG=10 cm, EK=5 cm et EF=6 cm.
Démontre que EFG est rectangle.
Calcule la longueur EG.
Indice 1
Compare la longueur de [EK] à celle de [FG].
Indice 2
Une fois l'hypoténuse repérée, utilise Pythagore pour le côté manquant.
Voir la correction pas à pas
Le point K est le milieu de [FG] et EK=5 cm. Or 2FG=210=5 cm, donc EK=2FG.
La médiane [EK] vaut la moitié du côté [FG] : d'après la réciproque, le triangle est rectangle et [FG] est son hypoténuse. Donc EFG est rectangle en E.
Par Pythagore dans le triangle rectangle en E : FG2=EF2+EG2.
On en déduit EG2=102−62=100−36=64.
Donc EG=64=8 cm.
Le triangle EFG est rectangle en E et EG=8 cm.
Quiz
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Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.4 L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, ici [BC]. Le milieu de [AB] ou de [AC] ne convient pas : ce sont des côtés de l'angle droit. Le point A est un sommet, donc il est sur le cercle, pas en son centre.
Un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle au troisième sommet.12 Ici, le diamètre est [PF], donc l'angle droit est en U. Rien ne dit qu'il est isocèle ou équilatéral : U peut être n'importe où sur le cercle. L'angle droit n'est jamais en P, car P est une extrémité du diamètre.
L'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit, donc le rayon est sa moitié : 226=13 cm. Donner 26 cm revient à confondre le rayon avec le diamètre.2
C'est vrai : cette médiane relie l'angle droit au milieu de l'hypoténuse, qui est le centre du cercle circonscrit, donc sa longueur est le rayon, soit la moitié de l'hypoténuse.4 Cette propriété est vraie pour tous les triangles rectangles, quelles que soient leurs dimensions.
La médiane [RT] mesure 6 cm, soit la moitié de MP=12 cm. D'après la réciproque, le triangle est rectangle, et [MP] est son hypoténuse.2 L'angle droit est donc en R, le sommet opposé à [MP]. Dire qu'on ne peut rien conclure oublie cette réciproque.
Le cercle circonscrit passe par les trois sommets, et son centre est le point de concours des médiatrices.3 Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est un diamètre.2 La troisième affirmation est fausse : le centre est au milieu de l'hypoténuse, pas d'un côté de l'angle droit.
La médiane issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse : 210=5 cm.4 Les longueurs AB et AC ne sont pas nécessaires. Les valeurs 10 et 20 viennent d'une confusion entre moitié, longueur entière et double.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre la propriété et sa réciproque ?
La propriété part de « le triangle est rectangle » pour conclure sur le cercle ou sur la médiane. La réciproque part du cercle (un côté est un diamètre) ou de la médiane (elle vaut la moitié du côté) pour prouver que le triangle est rectangle.2 Pour démontrer qu'un angle est droit, c'est presque toujours la réciproque qu'on cite.
Pourquoi le centre est-il le milieu de l'hypoténuse et pas ailleurs ?
Parce que ce point est à la même distance des trois sommets.4 La démonstration de ce cours le montre avec la droite des milieux : le milieu M de l'hypoténuse est sur la médiatrice d'un côté de l'angle droit, donc MA=MB, et il est aussi à égale distance de B et de C.
Comment savoir quelle propriété utiliser dans un exercice ?
Regarde ce que tu sais et ce que tu cherches. Un angle droit connu et une longueur à trouver : la propriété directe. Un angle droit à justifier, avec un diamètre ou une médiane dans l'énoncé : une réciproque. Si tu as deux côtés d'un triangle rectangle et qu'il faut le troisième, c'est Pythagore.
Le cercle circonscrit existe-t-il pour tous les triangles ?
Oui, pour tous les triangles non aplatis : il y a un seul cercle qui passe par les trois sommets.3 Mais seul le triangle rectangle a son centre au milieu d'un côté.
Dois-je connaître la démonstration par cœur ?
Retiens surtout les énoncés et leurs hypothèses, car ce sont eux qu'on te demande de citer. La démonstration t'aide à comprendre pourquoi ils sont vrais et à ne pas les mélanger : relis-la une fois, puis essaie de la refaire seul(e) avec la droite des milieux.