Cercle circonscrit et triangle rectangle : exercices de 4e

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, donc son hypoténuse est $[BC]$.

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit ².

Le diamètre vaut donc $10$ cm.

Le rayon est la moitié du diamètre : $10 \div 2 = 5$ cm.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ : d'après le théorème de Pythagore, $AC^2 = AB^2 + BC^2$ ⁴.

$AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, donc $AC = 10$ cm.

$[BM]$ est la médiane issue de l'angle droit $B$ : elle mesure la moitié de l'hypoténuse ⁴.

$BM = 10 \div 2 = 5$ cm.

Le triangle est rectangle en $E$ : son hypoténuse est donc $[FG]$, et $[EI]$ est la médiane tracée depuis l'angle droit.

Dans un triangle rectangle, cette médiane vaut la moitié de l'hypoténuse, donc l'hypoténuse vaut le double de la médiane ⁴.

Ainsi $FG = 2 \times EI = 2 \times 4{,}5 = 9$ cm.

Le plus grand côté est $[PR]$ : $PR^2 = 13^2 = 169$.

D'autre part $PQ^2 + QR^2 = 25 + 144 = 169$.

Les deux résultats sont égaux : la relation de Pythagore est vérifiée, ce qui caractérise les triangles rectangles ⁴. Le triangle $PQR$ est donc rectangle en $Q$, d'hypoténuse $[PR]$.

L'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit ² : le diamètre vaut $13$ cm.

Le rayon vaut $13 \div 2 = 6{,}5$ cm.

Le triangle $AMB$ est inscrit dans le cercle et son côté $[AB]$ est un diamètre de ce cercle : il est donc rectangle en $M$ ².

Son hypoténuse est $[AB]$. D'après le théorème de Pythagore, $BM^2 = AB^2 - AM^2$ ⁴.

$BM^2 = 100 - 36 = 64$, donc $BM = 8$ cm.

Les côtés de l'angle droit sont $[MA]$ et $[MB]$ : aire $= \dfrac{6 \times 8}{2} = 24$ cm².

$T$ est le milieu de $[MP]$, donc $[RT]$ est la médiane qui arrive sur $[MP]$.

Calculons la moitié de $MP$ : $7 \div 2 = 3{,}5$ cm. Or $RT = 3{,}5$ cm : la médiane est deux fois plus courte que $[MP]$.

D'après la réciproque, un triangle dont une médiane vaut la moitié du côté sur lequel elle arrive est rectangle, et ce côté est l'hypoténuse ².

Le triangle $RMP$ est donc rectangle en $R$, d'hypoténuse $[MP]$.

$[BC]$ est l'hypoténuse, donc $M$ est le centre du cercle circonscrit à $ABC$ ².

Ainsi $MA = MB$ : le triangle $AMB$ est isocèle en $M$.

Ses angles à la base sont égaux : $\widehat{MAB} = \widehat{MBA} = 50^\circ$.

La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$ : $\widehat{AMB} = 180^\circ - 2 \times 50^\circ = 80^\circ$.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ : $BC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ ⁴.

Donc $BC = 13$ cm, et $BM = 13 \div 2 = 6{,}5$ cm.

$[AM]$ est la médiane issue de l'angle droit : $AM = \dfrac{BC}{2} = 6{,}5$ cm ⁴.

Le périmètre de $AMB$ vaut $AB + BM + AM = 12 + 6{,}5 + 6{,}5 = 25$ cm.