Mathématiques · 4e
Cercle circonscrit et triangle rectangle : quiz de 4e
Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Le cercle circonscrit à un triangle non plat passe par ses trois sommets, et son centre est le point de concours des médiatrices.
- Dans un triangle rectangle, le centre de ce cercle est le milieu de l'hypoténuse : l'hypoténuse est un diamètre.
- La médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.
- Réciproques : un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle ; une médiane égale à la moitié du côté qu'elle coupe donne un angle droit.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur le lien entre le cercle circonscrit et le triangle rectangle. Tu y croiseras les propriétés directes et leurs réciproques, avec des questions de calcul et des pièges classiques.
Prends un brouillon et dessine la figure à chaque question : c'est le meilleur réflexe pour ne pas confondre une propriété et sa réciproque.
Quiz
14 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, ici ; le centre du cercle circonscrit en est le milieu. Le point est un point du cercle, pas son centre. Le milieu d'un côté de l'angle droit comme n'est pas équidistant des trois sommets.
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L'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit, donc le rayon est sa moitié : cm. Prendre cm comme rayon serait confondre rayon et diamètre.
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Le centre est le milieu de l'hypoténuse, donc un point de ce côté. On pense parfois qu'il est toujours à l'intérieur strict du triangle, ce qui est faux pour un triangle rectangle.
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Un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle, et l'angle droit est au sommet opposé à ce diamètre : ici 2. Rien n'impose que deux côtés soient égaux, donc ni isocèle ni équilatéral.
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La médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse : cm 4. Répondre cm oublierait de diviser par deux.
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C'est la réciproque de la propriété de la médiane : si la médiane relative à un côté vaut la moitié de ce côté, le triangle est rectangle et ce côté est l'hypoténuse 2. L'angle droit est donc en , sommet opposé à .
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D'après le théorème de Pythagore, l'hypoténuse vérifie , donc cm 4. Le rayon est la moitié de l'hypoténuse : cm. Donner cm oublierait la dernière étape.
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Par les trois sommets d'un triangle non plat, il passe un et un seul cercle 3. Les trois médiatrices se coupent en un seul point, ce qui fixe le centre, donc le cercle.
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On calcule : l'égalité de Pythagore est vraie, donc le triangle est rectangle en 4. Son hypoténuse mesure cm, d'où un rayon de cm. Le plus grand côté est bien : c'est lui qu'on coupe en deux.
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Tout point d'un cercle forme avec les extrémités d'un diamètre un triangle rectangle 4, l'angle droit étant en . Il n'est isocèle que si est au milieu de l'un des deux demi-cercles, pas dans tous les cas.
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L'hypoténuse est un diamètre, car son milieu est le centre du cercle 2. Un côté de l'angle droit est plus court que l'hypoténuse : il ne peut pas être un diamètre, qui est la plus grande corde du cercle.
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Le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle, et la médiane issue de l'angle droit relie ce milieu au sommet de l'angle droit, qui est sur le cercle : sa longueur est le rayon, soit cm. Elle vaut aussi la moitié de l'hypoténuse cm.
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Dans un triangle rectangle, le centre est le milieu de l'hypoténuse 2, donc sur un côté et non à l'intérieur strict. Un centre strictement intérieur exclut donc le triangle rectangle.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre la propriété et sa réciproque ?
Comment démontrer qu'un triangle est rectangle avec cette notion ?
Tu as deux méthodes. Première méthode : tu prouves que les trois sommets appartiennent à un cercle dont l'un des côtés est un diamètre. Seconde méthode : tu prouves qu'une médiane est égale à la moitié du côté sur lequel elle arrive 2. Dans les deux cas, l'angle droit se trouve au sommet opposé à ce côté.
Sources
- Cours et exercices - Sesamath 4e (Pythagoricien), Sesamath. Consulté le 12 novembre 2026.
- Propriétés et démonstrations - Sesamath 4e, Sesamath. Consulté le 12 novembre 2026.
- Cercle circonscrit à un triangle, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.
- Triangle rectangle, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.
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