Cercle circonscrit et triangle rectangle : fiche de 4e
Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le cercle circonscrit à un triangle est l'unique cercle qui passe par ses trois sommets ; son centre est le point de concours des médiatrices.3
Quand un triangle a un angle droit, son cercle circonscrit est centré au milieu de l'hypoténuse : ce côté est donc un diamètre du cercle.2
Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.4
Réciproques : un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AB] est rectangle ; une médiane égale à la moitié du côté qu'elle coupe prouve l'angle droit.12
Les définitions à connaître
La propriété directe
Les réciproques pour prouver un angle droit
Méthode et rédaction
Les pièges fréquents
Questions flash
3 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le centre est le milieu de l'hypoténuse, ici [BC], côté opposé à l'angle droit.2 Le milieu de [AB] est tentant, mais [AB] est un côté de l'angle droit, pas l'hypoténuse. Le sommet A ne peut pas être le centre : le centre doit être à la même distance des trois sommets, or A est à une distance nulle de lui-même et pas de B ni de C.
La médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse : 12÷2=6 cm.4 Répondre 12 revient à confondre la médiane avec l'hypoténuse entière.
Le triangle est rectangle en M, car [AB] est un diamètre et M est sur le cercle.2 L'angle droit est au sommet qui n'est pas sur le diamètre, donc pas en A.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser la propriété ou sa réciproque ?
Regarde ce que l'énoncé te donne. Si on sait que le triangle est rectangle et qu'on cherche un rayon ou une médiane, utilise la propriété directe. Si on cherche à prouver que le triangle est rectangle, utilise une réciproque : triangle inscrit dans un demi-cercle ou médiane égale à la moitié du côté.2
Le centre du cercle circonscrit est-il toujours à l'intérieur du triangle ?
Non. Dans un triangle rectangle, il est exactement au milieu de l'hypoténuse, donc sur un côté.2 Il ne se trouve donc pas à l'intérieur du triangle (et pour un triangle qui a un angle obtus, il est même à l'extérieur).
Pourquoi le centre est-il à égale distance des trois sommets ?
Le centre du cercle circonscrit est le point de concours des médiatrices du triangle. Chaque médiatrice rassemble les points équidistants de deux sommets, donc ce point est à la même distance des trois.3