Le cosinus d'un angle aigu : cours de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient : côté adjacent ÷ hypoténuse.
Ce quotient ne dépend que de l'angle, pas de la taille du triangle ; il est toujours compris entre 0 et 1.
Pour trouver une longueur : écris l'égalité $\cos = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ , puis résous-la.
Pour trouver un angle : calcule le quotient, puis utilise la touche cos⁻¹ de la calculatrice.
Avant tout calcul, repère l'angle droit, l'hypoténuse et le côté adjacent à l'angle étudié.

Pourquoi un nombre associé à un angle ?

Tu connais déjà des triangles rectangles et tu sais calculer une longueur avec le théorème de Pythagore. Mais que faire quand on connaît un angle et une seule longueur ? Pythagore ne suffit plus : il demande deux longueurs.

Le cosinus répond à ce problème. C'est un outil qui relie un angle aigu d'un triangle rectangle à un rapport de deux longueurs. Le programme du cycle 4 demande de connaître et d'utiliser les lignes trigonométriques dans le triangle rectangle : cosinus, sinus et tangente.¹ Dans ce cours, on étudie la première d'entre elles : le cosinus.

Pour bien démarrer, il te faut deux idées vues avant ce chapitre :

la proportionnalité dans le triangle : si on agrandit une figure, les rapports de longueurs ne changent pas ;
la somme des angles d'un triangle : les trois angles d'un triangle ont pour somme 180°.¹ Dans un triangle rectangle, un angle vaut 90°, donc les deux autres angles aigus sont forcément plus petits que 90°.

C'est cette conservation des rapports qui rend le cosinus possible. On va le voir tout de suite.

Repérer les côtés d'un triangle rectangle

Le cosinus utilise deux côtés précis du triangle. Il faut donc leur donner un nom et savoir les reconnaître, par rapport à l'angle étudié.

Triangle ABC rectangle en A · L'hypoténuse est BC. Pour l'angle en B, le côté adjacent est AB.

Définition du cosinus

On écrit « cos C » ou « cos $\widehat{C}$ ». Le cosinus est un nombre sans unité : c'est le quotient de deux longueurs exprimées dans la même unité, donc les unités se simplifient.

Pourquoi le cosinus ne dépend que de l'angle

Une question légitime : si je dessine un grand triangle et un petit triangle avec le même angle, vais-je trouver le même cosinus ? Oui. Tous les triangles rectangles qui ont le même angle aigu sont des agrandissements ou des réductions les uns des autres, on dit qu'ils sont semblables. Le rapport adjacent sur hypoténuse est donc identique dans chacun d'eux.³ La valeur commune de ces rapports dépend uniquement de la mesure de l'angle.²

Le cosinus est toujours compris entre 0 et 1

Tu peux le comprendre sans formule compliquée. L'hypoténuse est le plus long côté du triangle rectangle.³ Le côté adjacent est donc plus court qu'elle. Un nombre plus petit divisé par un nombre plus grand donne un résultat inférieur à 1. Et comme des longueurs sont positives, le quotient est positif.

Calculer une longueur avec le cosinus

SchémaRepère l'angle droit et l'hypoténuse.
AdjacentRepère le côté qui touche l'angle connu.
ÉgalitéÉcris cos = adjacent ÷ hypoténuse.
CalculRemplace par les données, calculatrice en degrés.
RéponseRésous, ajoute l'unité, contrôle la cohérence.

Calculer une longueur avec le cosinus

Calculer un angle avec le cosinus

Il arrive qu'on connaisse deux longueurs et qu'on cherche l'angle. On calcule d'abord le quotient adjacent sur hypoténuse, ce qui donne un nombre entre 0 et 1. Puis on cherche quel angle a ce cosinus, grâce à la touche cos⁻¹ (ou « arccos », ou « acos » selon les modèles). Cette touche se trouve souvent en appuyant d'abord sur « seconde » ou « shift », puis sur « cos ».

Erreurs fréquentes et ouverture

Le cosinus n'est pas seul : le programme associe à chaque angle aigu trois quotients de longueurs, le cosinus, le sinus et la tangente.¹ Le sinus utilise le côté opposé et l'hypoténuse, la tangente compare opposé et adjacent. Tu les étudieras en détail plus tard, avec la même démarche que celle de ce cours.

Plus tard, le cosinus servira aussi en physique. Il aide à décrire un phénomène qui revient régulièrement, comme un son, une lumière ou la température qui monte et descend au fil des saisons.³ Le triangle rectangle n'est donc que la porte d'entrée vers un outil très large.

Enfin, dans le chapitre suivant, le cercle circonscrit et le triangle rectangle, tu retrouveras les triangles rectangles sous un autre angle d'attaque : ce que tu viens d'apprendre sur l'hypoténuse t'y sera utile.

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un cosinus

★☆☆Environ 5 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 6$ cm et $BC = 10$ cm.

Calcule $\cos \widehat{B}$ .

Indice 1

Repère l'hypoténuse : c'est le côté en face de l'angle droit.

Indice 2

Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est celui qui touche $B$ sans être l'hypoténuse.

Voir la correction pas à pas

L'angle droit est en $A$ , donc l'hypoténuse est $[BC]$ , qui mesure 10 cm.
Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est $[AB]$ , qui mesure 6 cm.
On applique la définition : $\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$ .
Contrôle : 0,6 est bien compris entre 0 et 1.

On trouve $\cos \widehat{B} = 0{,}6$ . Ce nombre n'a pas d'unité.

Exercice 2 Calculer une longueur adjacente

★★☆Environ 8 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ . L'hypoténuse $AC$ mesure 12 cm et l'angle $\widehat{A}$ mesure 60°.

Calcule la longueur $AB$ en cm.

Indice 1

Quel côté touche l'angle $\widehat{A}$ sans être l'hypoténuse ?

Indice 2

Écris $\cos 60° = \dfrac{AB}{AC}$ puis isole $AB$ .

Voir la correction pas à pas

L'angle droit est en $B$ , donc l'hypoténuse est $[AC]$ (12 cm).
Le côté adjacent à $\widehat{A}$ est $[AB]$ .
On écrit $\cos 60° = \dfrac{AB}{12}$ .
On isole $AB$ : $AB = 12 \times \cos 60°$ .
La calculatrice donne $\cos 60° = 0{,}5$ , donc $AB = 12 \times 0{,}5 = 6$ cm.
Contrôle : 6 cm est plus court que l'hypoténuse (12 cm).

Le côté $AB$ mesure 6 cm.

Exercice 3 Trouver un angle

★★☆Environ 8 min

Le triangle $EFG$ est rectangle en $E$ . On donne $EF = 7$ cm et $FG = 10$ cm.

Calcule la mesure de l'angle $\widehat{F}$ , arrondie au dixième de degré.

Indice 1

L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit $E$ .

Indice 2

Calcule d'abord le quotient, puis utilise la touche cos⁻¹.

Voir la correction pas à pas

L'hypoténuse est $[FG]$ (10 cm).
Le côté adjacent à $\widehat{F}$ est $[EF]$ (7 cm).
On calcule $\cos \widehat{F} = \dfrac{EF}{FG} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7$ .
On applique la touche cos⁻¹ en mode degrés : $\widehat{F} = \cos^{-1}(0{,}7) \approx 45{,}57°$ .
On arrondit au dixième : environ 45,6°.
Contrôle : l'angle est aigu, donc entre 0° et 90°.

L'angle $\widehat{F}$ mesure environ 45,6°.

Exercice 4 L'échelle contre le mur

★★★Environ 12 min

Une échelle de 5 m de long est posée contre un mur vertical. Son pied est au sol, à 1,5 m du mur. On suppose le sol horizontal : le triangle formé par le mur, le sol et l'échelle est rectangle.

Quelle est la mesure de l'angle que l'échelle fait avec le sol, arrondie au centième de degré ?

Indice 1

Fais un schéma : où est l'angle droit ? Quel côté est l'hypoténuse ?

Indice 2

La distance entre le pied de l'échelle et le mur est le côté adjacent à l'angle cherché.

Voir la correction pas à pas

Le mur et le sol forment l'angle droit ; l'hypoténuse est donc l'échelle (5 m).
L'angle cherché est entre l'échelle et le sol. Son côté adjacent est la distance au sol entre le pied de l'échelle et le mur (1,5 m).
On écrit $\cos \widehat{\alpha} = \dfrac{1{,}5}{5} = 0{,}3$ .
On applique cos⁻¹ en mode degrés : $\widehat{\alpha} = \cos^{-1}(0{,}3) \approx 72{,}54°$ .
Contrôle : plus l'échelle est proche du mur, plus elle est redressée ; 72,54° est cohérent avec un pied proche du mur.

L'échelle fait un angle d'environ 72,54° avec le sol.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quel côté est le côté adjacent ?

Commence par repérer l'hypoténuse, en face de l'angle droit. Puis regarde l'angle qui t'intéresse : le côté adjacent est celui qui le touche et qui n'est pas l'hypoténuse. Il change quand tu changes d'angle.

Pourquoi le cosinus est-il toujours entre 0 et 1 ?

Parce qu'on divise une longueur (le côté adjacent) par une longueur plus grande (l'hypoténuse, le plus long côté du triangle rectangle). Un quotient de ce type est positif et inférieur à 1. Si tu trouves plus de 1, vérifie que tu n'as pas inversé la fraction.

À quoi sert le cosinus concrètement ?

Il permet de calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle quand on ne dispose pas de deux longueurs, ce qui est la limite du théorème de Pythagore. On l'utilise par exemple pour déterminer l'inclinaison d'une échelle, d'une rampe ou d'un toit.

Quelle différence entre cos et cos⁻¹ sur la calculatrice ?

La touche cos part d'un angle et donne son cosinus. La touche cos⁻¹ fait l'inverse : elle part du cosinus et donne l'angle. Pour trouver un angle, tu calcules d'abord le quotient adjacent ÷ hypoténuse, puis tu appuies sur cos⁻¹.

Peut-on utiliser le cosinus dans un triangle qui n'est pas rectangle ?

Pas avec la définition de ce cours, qui repose sur l'hypoténuse et donc sur l'angle droit. Dans un triangle quelconque, il faut d'abord tracer une hauteur pour retrouver des triangles rectangles. Tu rencontreras des méthodes plus générales dans les classes suivantes.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 · education.gouv.fr

Programme de mathématiques pour le cycle 4, education.gouv.fr. Consulté le 12 novembre 2026.
Cosinus d'un angle aigu - Sesamath (manuel libre), sesamath.net. Consulté le 12 novembre 2026.
Cosinus, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.
Loi des cosinus, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi un nombre associé à un angle ?

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Définition du cosinus

Pourquoi le cosinus ne dépend que de l'angle

Le cosinus est toujours compris entre 0 et 1

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Erreurs fréquentes et ouverture

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un cosinus

Exercice 2 Calculer une longueur adjacente

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Quiz

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