Mathématiques · 5e
Construire le symétrique d'une figure : cours de 5e
Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Le symétrique de M par rapport à O est le point M' tel que O soit le milieu de [MM'] 5.
- Pour construire M' : trace la droite (MO), puis reporte la longueur MO de l'autre côté de O.
- Pour une figure, on construit le symétrique de chacun de ses points importants (sommets, centre), puis on relie 3.
- La figure obtenue est superposable à la figure de départ : mêmes longueurs, mêmes angles, mais elle a tourné d'un demi-tour 35.
- Vérification : O doit être le milieu de chaque segment qui relie un point à son image.
Du demi-tour à la symétrie centrale
Tu connais déjà le demi-tour : on fait tourner un objet d'un demi-tour (un demi-tour complet de 180°) autour d'un point. La symétrie centrale est la transformation mathématique qui décrit ce demi-tour sur une figure du plan. Dans ce cours, tu apprends à construire le résultat : placer l'image d'un point, puis celle d'un segment, d'un cercle et d'une figure complète.
Le programme de 5e demande de savoir transformer une figure par symétrie centrale et de construire les images de segments, de droites et de cercles 1. C'est exactement l'objectif de cette page.
Définition : le symétrique d'un point
Cette phrase contient trois informations que tu dois savoir traduire en construction :
- M, O et M' sont alignés, puisque O est sur le segment [MM'] ;
- O est entre M et M', jamais d'un seul côté ;
- les deux distances sont égales : .
Si le point M est placé sur le centre O lui-même, alors M' est aussi en O : le centre est son propre symétrique.
Construire le symétrique d'un point
- Tracer la droiteTrace la droite (MO) avec la règle.
- MesurerMesure ou prends au compas la longueur OM.
- ReporterReporte OM de l'autre côté de O.
- ContrôlerVérifie que O est le milieu de [MM'].
Construire le symétrique d'un segment, d'une droite, d'un cercle
Le programme demande de construire les images de segments, de droites et de cercles par une symétrie centrale 1. On n'a pas besoin de nouvelle méthode : on se ramène toujours à des points.
Construire le symétrique d'une figure entière
Comparer avec la symétrie axiale
Tu as aussi étudié la symétrie par rapport à une droite, appelée symétrie axiale. Dans les deux cas, la figure symétrique est superposable à la figure initiale : ces deux symétries ne déforment pas les figures 3. Ce qui diffère, c'est la façon dont la figure image est disposée par rapport à la figure de départ 3.
| Symétrie centrale | Symétrie axiale | |
|---|---|---|
| Élément fixe | un point O | une droite (d) |
| Condition sur M et M' | O est le milieu de [MM'] | (d) coupe [MM'] perpendiculairement en son milieu |
| Effet sur la figure | demi-tour autour de O | retournement de part et d'autre de (d) |
| Longueurs et angles | conservés | conservés |
Dans la symétrie centrale, la figure n'est pas « retournée comme dans un miroir » : elle est seulement tournée d'un demi-tour.
Vérifier et rédiger sa construction
Quand une figure est sa propre image
Il arrive que la figure image se superpose exactement à la figure de départ. Le point O est alors un centre de symétrie de la figure : la figure est invariante par la symétrie de centre O 5. Par exemple, le rectangle, le losange et le carré ont un centre de symétrie 5. Ce sera l'objet de l'un des prochains chapitres.
Exercices corrigés
Exercice 1 Distance entre un point et son symétrique
Le point O est le centre d'une symétrie. Le point M est à 4,2 cm de O. M' est le symétrique de M par rapport à O. Calcule la longueur MM'.
Indice 1
O est le milieu de [MM'].
Indice 2
Calcule d'abord OM'.
Voir la correction pas à pas
M' est le symétrique de M par rapport à O, donc O est le milieu de [MM'].
On en déduit OM' = OM = 4,2 cm.
O est situé entre M et M', donc MM' = OM + OM' = 4,2 + 4,2 = 8,4 cm.
La distance entre un point et son symétrique est le double de sa distance au centre : MM' = 8,4 cm.
Exercice 2 Périmètre du triangle symétrique
Un triangle ABC a pour côtés AB = 5 cm, BC = 7 cm et CA = 9 cm. On construit son symétrique A'B'C' par rapport à un point O. Calcule le périmètre du triangle A'B'C' et explique ton raisonnement.
Indice 1
La symétrie centrale conserve les longueurs.
Indice 2
Détermine A'B', B'C' et C'A' un par un.
Voir la correction pas à pas
La symétrie centrale conserve les distances, donc A'B' = AB = 5 cm.
De même B'C' = BC = 7 cm et C'A' = CA = 9 cm.
Le périmètre de A'B'C' est 5 + 7 + 9 = 21 cm, identique à celui de ABC.
Le triangle A'B'C' a pour périmètre 21 cm, car ses côtés ont les mêmes longueurs que ceux de ABC.
Exercice 3 Cercle image
Un cercle de centre C a un rayon de 3,5 cm. On le transforme par la symétrie de centre O, avec OC = 6 cm. On note C' le symétrique de C. Calcule la distance CC', puis donne le rayon du cercle image.
Indice 1
Construis d'abord C'.
Indice 2
Le rayon est une distance : que devient-elle ?
Voir la correction pas à pas
C' est le symétrique de C par rapport à O, donc O est le milieu de [CC'] et OC' = OC = 6 cm.
On en déduit CC' = 6 + 6 = 12 cm.
Le cercle image a pour centre C'. La symétrie conserve les distances, donc son rayon reste 3,5 cm.
Les deux cercles ont le même rayon 3,5 cm, et leurs centres sont à 12 cm l'un de l'autre. Ils sont séparés, car 12 est supérieur à 3,5 + 3,5 = 7.
CC' = 12 cm et le cercle image a pour rayon 3,5 cm.
Quiz
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Par définition, O est le milieu de [MM'] 5. Dire que M' est le milieu de [OM] est faux : OM' vaudrait la moitié de OM, et M' serait du même côté que M.
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A' est aligné avec A et O, de l'autre côté de O, et OA' = OA = 5 cm. La réponse à 10 cm de O confond OA' avec la distance AA', qui vaut bien 10 cm. La perpendiculaire n'intervient que pour une symétrie axiale.
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La symétrie centrale conserve les distances 5 : A'B' = AB = 8 cm. Ne la double pas : le doublement ne concerne que la distance d'un point à son image.
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Le centre a pour image C' et le rayon est conservé, car la symétrie conserve les distances 5. Un rayon de 4 cm viendrait d'une confusion avec le doublement des distances au centre. Le centre O de la symétrie n'est le centre du cercle image que si C est en O.
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O est le milieu de [MM'], donc OM' = OM = 6,4 cm et MM' = 6,4 + 6,4 = 12,8 cm. Répondre 6,4 revient à oublier la seconde moitié du segment.
Les questions qu'on se pose
Comment être sûr que mon point M' est bien placé ?
Trace le segment [MM'] et vérifie que O est son milieu : mesure MO et OM', ils doivent être égaux. Vérifie aussi que M, O et M' sont alignés avec ta règle.
Faut-il construire tous les points d'une figure ?
En théorie, la figure symétrique est formée des symétriques de tous les points de la figure 3. En pratique, on construit seulement les points qui la déterminent : les sommets d'un polygone, le centre d'un cercle, deux points d'une droite. On relie ensuite les images dans le même ordre.
Quelle différence avec la symétrie axiale ?
En symétrie axiale, on utilise une droite et la figure est retournée comme dans un miroir. En symétrie centrale, on utilise un point et la figure fait un demi-tour. Dans les deux cas, la figure image est superposable à la figure de départ 3.
Que se passe-t-il si le centre O est sur la figure ?
La construction ne change pas : tu construis toujours les symétriques des points importants. Le point O reste à sa place, car son symétrique est lui-même. La figure image peut alors toucher la figure de départ en O.
Sources
Programme visé : 5e Mathématiques ATTENDUS de fin d'année — Symétrie centrale · Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale
- 5e Mathématiques ATTENDUS de fin d'année — Symétrie centrale, Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 10 novembre 2026.
- Mathématiques Espace et géométrie — Symétrie centrale et propriétés, Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 10 novembre 2026.
- Cours de mathématique Classe de 5ème — La symétrie centrale (page 119), Sésamath — Manuels libres. Consulté le 10 novembre 2026.
- Exercices de construction de symétriques par une symétrie centrale, Sésamath — Manuels libres. Consulté le 10 novembre 2026.
- Symétrie (transformation géométrique), Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
- Symétrie (physique), Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
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